在某位低階科研狗帶著有所學校以顏值分班的驚奇感離開自習室後，江水源繼續他刷書之旅。至於景鵬副主任的話，他覺得最多隻能聽一半，也就是各種教材要相互比對著看，而且關鍵看它們術語是怎麽定義的、定理是如何表述的，並琢磨每本書背後的理路，從中找出共性與特性。
——當然，這種學習方式也就江水源能用，其他人要是敢這麽刷，腦袋裏早就成一堆漿糊了！
至於景鵬說“《高等代數》不會太難”的那一半，就好像大人對小孩子說的“你的壓歲錢我幫你收著，以後給你”，聽聽就行了，誰信誰傻。
接下來的一周，江水源過得非常平靜，無非就是看書刷題。期間隻收到了喬知之老先生的一封來信，不說別的，隻看老人家那筆瘦勁工整的小楷字跡，就讓江水源汗顏不已，暗自決定等有空了一定好好練字。
喬老爺子在信中表示，他迴去之後想了又想，覺得小江同學能夠熟練掌握《十三經》《二十四史》等大部頭實在是巨大優勢，跟同事們商量再三，擬定了6大方向、13個小題目，希望小江同學能夠多思考、多動筆，有什麽心得體會可以寫下來直接寄給他看看，文字不拘長短，三兩千字不嫌少，十萬八萬不嫌多。
6大方向江水源大致看了看，從先秦諸子治國思想、兩漢國家祭祀製度，到魏晉南北朝儒佛道思想互動、唐宋社會秩序變革，再到宋明理學發展、清代學術思想演變，幾乎涵蓋了曆史上的所有主要朝代，充分體現了經史融合的特點。關鍵還在於題目夠大，別說給大學生練筆，就是給博士生做學位論文也足夠了！
至於13個小題目，內容倒是相對具體點，至少讓人看了知道大致該怎麽著手。可每個題目後麵羅列一二十種參考書目又是怎麽迴事？不管了、不管了，還是備考《高等代數》要緊！
矩陣、行列式、線性空間、多項式環、張量積，我來了！
轉眼一個星期過去，江水源麵色沉靜地迎來了入學的第二場考查，其實心裏早已慌得一批：出題的大佬一定要高抬貴手，就算考得題目深一點、知識點雜一點、計算量大一點，我都認了，千萬別再玩那些虛頭巴腦的技巧了，真的會死人的！
這次送題目的還是發量稀疏的仇主任和那位低階科研狗，沈處長卻沒來，頂替他的是景鵬副主任。
仇萬平晃著更加明亮的腦袋宣布道：“此次考查內容為《高等代數》（1）（2），共計20道題，答對12題為合格，答對17道題以上為優秀。時間為一天，即明天早上8點半之前交卷。考查形式為開卷。有什麽問題麽？”
《高等代數》要學大一上、下兩學期，也就是所謂的“高代1、2”，一般10個學分。考查有20道題，算下來還是2道題1個學分，跟上次一樣，看起來還挺公平的。不過聽到時間是一天，江水源手抖了一下：我去，看來題目簡單不了，沒準兒又得要熬夜！
看江水源沒什麽異議，仇萬平示意低階科研狗發試卷紙。
江水源拿到題目，立即摒除所有雜念，以爭分奪秒的姿態開始答題。第一題是求矩陣的特征值和特征向量，屬於高等代數裏的基本操作，他拿起筆三下五除二，不出五分鍾就輕鬆算出了答案。算完之後他才發覺有些不對：咦，這道題目怎麽可以這麽簡單？怎麽可能這麽簡單？
難道我踩了雷？
嚇得他趕緊迴過頭，從頭到尾認真檢查了一遍，結果沒發現任何問題。於是他抬起頭，一臉呆萌地看著仇萬平：怎麽迴事？究竟是你良心發現，還是你拿錯了試卷，為什麽今天的試卷這麽簡單？老實交代，是不是有什麽陰謀？
仇萬平板著臉：“好好做題，不要東張西望的！”
“不是說開卷嗎？”
“呃......哼！”仇萬平被噎得夠嗆，惱怒地瞪了江水源和景鵬一眼，然後拂袖而去。
瞪我幹什麽？難道更年期的老人家都這麽難搞？江水源聳聳肩，低下頭繼續做第二題。第二題是求某個齊次線性方程組的規範正交基，也屬於常規操作。等花了五分鍾做出來之後，他被徹底驚到了：為什麽？究竟是為什麽？難道是我的真誠感動了上天，讓我的夢想變成了現實？
感謝天，感謝地，感謝命運讓我們相遇！
不對、不對，“即使我們工作取得了極其偉大的成績，也沒有任何值得驕傲自大的理由。虛心使人進步，驕傲使人落後，我們應當永遠記住這個真理”。江水源把圖書管理員的箴言默念三遍，擺正心態，繼續往下做題。
不到十點，江水源已經如同砍瓜切菜一般，把前麵十二道題目全部解決，順利抵達及格線。他甩甩手腕，決定一鼓作氣，在午飯前結束所有戰鬥，用學三食堂的火腿炒飯來歡慶高代的10學分順利到手。然後他就遇到了第13題。
設a、b是n階實對稱陣且ab+ba=0。證明：若a是半正定矩陣，則存在正交矩陣p，使得p''ap=diag{&mbda;1，...，&mbda;r，0，...，0}，p''bp=diag{0，...，0，μr+1，，μπ）。
題目看上去有些難度，關鍵後麵還綴了個尾巴：至少用2種以上方法證明。由此看來，出題者不是洗心革麵，放下屠刀吃齋念佛了，而是思路發生了點小變化。前12題是基礎題，保證隻要基本功紮實就能順利過關；後麵8題則是提高題，難度迅速抬升一個數量級，似乎刻意是要對答題者的能力做出篩選分級。
既然如此，那就來吧！
江水源心中略作盤算。雖然反交換的矩陣不一定有公共的特征向量，但是a的半正定性使得隻需要把問題限製在零特征值的特征子空間上討論就行了，此時a、b的反交換性就變成了交換性。所以第一種方法就是利用不變子空間理論，將問題轉化成幾何的語言，就可以很容易證明結論。
剛剛寫完，他又想到了另外一種方法，利用實對稱陣的正交相似標準形理論，假設a是正交相似標準形來做。嗯，so_easy!
進度13/20!
江水源剛要翻到下一題，突然想到一種更巧妙的方法，即利用a^2、b可以同時正交對角化，再用到半正定矩陣算術平方根的唯一性來證明，這種方法不僅更自然，也更簡單。
景鵬像是閑得無聊，整個上午都呆在自習室裏，優哉遊哉地翻看著江水源放在書架上的各種書籍。等到江水源做完第13題，馬上伸手拿過答題紙認真看了起來。江水源吐槽道：“景老師，不是說好開卷麽？怎麽感覺像是以開卷之名，行閉卷之實呀？”
“我就是隨便看看，礙著你翻書找資料了嗎？”景鵬好整以暇地調整了個坐姿。
“倒不礙著我翻書找資料，可是影響我考試心情啊！”
“都考試了，還能有什麽心情？趕緊做題吧！”景鵬安靜了不到十秒鍾，忍不住驚訝出聲：“欸，這個解法好精巧，我都沒想到過！”
江水源一聽就知道他說的是哪裏：“很巧妙吧？我也是突然來了靈感才想到的。”
景鵬讚許地點點頭：“不錯、不錯。不過能想到這個方法，隻能算是有點聰明；能把整張試卷按時做完，那才是真正把高等代數學好了。”
什麽意思？看來後麵的題目簡單不了啊！
事實證明，景鵬不是虛言恫嚇。江水源越往後做越覺得吃力，第15題剛開了個頭，突然有隻手伸到自己麵前：“飯卡！”
“嗯？”江水源順著手看過去，原來是那位相貌普通的低階科研狗，景鵬不知道什麽時候已經走了。
“午飯吃什麽？”
“哦，已經是中午了？麻煩來一份石鍋拌飯，一盒牛奶，謝謝。”
“好。”低階科研狗突然臉上帶著蜜汁微笑，神秘兮兮地問道，“在你們那個班，是不是班委什麽的也是按顏值來排的？比如說，長得最帥、最漂亮的當班長，排第二的當學委啥的？”
“是啊，你怎麽知道？當時我還是小組長呢！”
吃完某位八卦人士熱心送來的午飯，江水源把戰線繼續緩慢往前推進。如果說上次數分考試非常考驗人的耐心和腦筋急轉彎的能力，那麽這次高代考試顯然更注重人的思維能力和對知識的創新運用。換個角度說，上次數分考試像知識競賽，而這次高代考試像寫小論文。
到了晚上九點多鍾，終於順利推進道最後一道壓軸題，證明三個矩陣秩不等式中等號成立的充分必要條件。
眾所周知，矩陣理論是高等代數的重要組成部分，而矩陣的秩又是矩陣的一個重要數值參數。在矩陣運算前後，矩陣的秩會具有什麽樣的關係，教材上一般都給出了三個重要的矩陣秩不等式，分別是：
rank（a+b）≤ranka+rankb；
rank（ab）≤min{ranka，rankb}；
rank（ab）≥ranka+rankb-n，其中n為矩陣a的列數。
在江水源見過的線性代數教材中，或是從初等變換、或是從向量組的秩的角度給出上述三個不等式的證明，但都沒說清不等式在什麽情況下等式成立。那麽該如何證明上述三個矩陣秩不等式中等號成立的充要條件呢？
——當然，這種學習方式也就江水源能用，其他人要是敢這麽刷，腦袋裏早就成一堆漿糊了！
至於景鵬說“《高等代數》不會太難”的那一半，就好像大人對小孩子說的“你的壓歲錢我幫你收著，以後給你”，聽聽就行了，誰信誰傻。
接下來的一周，江水源過得非常平靜，無非就是看書刷題。期間隻收到了喬知之老先生的一封來信，不說別的，隻看老人家那筆瘦勁工整的小楷字跡，就讓江水源汗顏不已，暗自決定等有空了一定好好練字。
喬老爺子在信中表示，他迴去之後想了又想，覺得小江同學能夠熟練掌握《十三經》《二十四史》等大部頭實在是巨大優勢，跟同事們商量再三，擬定了6大方向、13個小題目，希望小江同學能夠多思考、多動筆，有什麽心得體會可以寫下來直接寄給他看看，文字不拘長短，三兩千字不嫌少，十萬八萬不嫌多。
6大方向江水源大致看了看，從先秦諸子治國思想、兩漢國家祭祀製度，到魏晉南北朝儒佛道思想互動、唐宋社會秩序變革，再到宋明理學發展、清代學術思想演變，幾乎涵蓋了曆史上的所有主要朝代，充分體現了經史融合的特點。關鍵還在於題目夠大，別說給大學生練筆，就是給博士生做學位論文也足夠了！
至於13個小題目，內容倒是相對具體點，至少讓人看了知道大致該怎麽著手。可每個題目後麵羅列一二十種參考書目又是怎麽迴事？不管了、不管了，還是備考《高等代數》要緊！
矩陣、行列式、線性空間、多項式環、張量積，我來了！
轉眼一個星期過去，江水源麵色沉靜地迎來了入學的第二場考查，其實心裏早已慌得一批：出題的大佬一定要高抬貴手，就算考得題目深一點、知識點雜一點、計算量大一點，我都認了，千萬別再玩那些虛頭巴腦的技巧了，真的會死人的！
這次送題目的還是發量稀疏的仇主任和那位低階科研狗，沈處長卻沒來，頂替他的是景鵬副主任。
仇萬平晃著更加明亮的腦袋宣布道：“此次考查內容為《高等代數》（1）（2），共計20道題，答對12題為合格，答對17道題以上為優秀。時間為一天，即明天早上8點半之前交卷。考查形式為開卷。有什麽問題麽？”
《高等代數》要學大一上、下兩學期，也就是所謂的“高代1、2”，一般10個學分。考查有20道題，算下來還是2道題1個學分，跟上次一樣，看起來還挺公平的。不過聽到時間是一天，江水源手抖了一下：我去，看來題目簡單不了，沒準兒又得要熬夜！
看江水源沒什麽異議，仇萬平示意低階科研狗發試卷紙。
江水源拿到題目，立即摒除所有雜念，以爭分奪秒的姿態開始答題。第一題是求矩陣的特征值和特征向量，屬於高等代數裏的基本操作，他拿起筆三下五除二，不出五分鍾就輕鬆算出了答案。算完之後他才發覺有些不對：咦，這道題目怎麽可以這麽簡單？怎麽可能這麽簡單？
難道我踩了雷？
嚇得他趕緊迴過頭，從頭到尾認真檢查了一遍，結果沒發現任何問題。於是他抬起頭，一臉呆萌地看著仇萬平：怎麽迴事？究竟是你良心發現，還是你拿錯了試卷，為什麽今天的試卷這麽簡單？老實交代，是不是有什麽陰謀？
仇萬平板著臉：“好好做題，不要東張西望的！”
“不是說開卷嗎？”
“呃......哼！”仇萬平被噎得夠嗆，惱怒地瞪了江水源和景鵬一眼，然後拂袖而去。
瞪我幹什麽？難道更年期的老人家都這麽難搞？江水源聳聳肩，低下頭繼續做第二題。第二題是求某個齊次線性方程組的規範正交基，也屬於常規操作。等花了五分鍾做出來之後，他被徹底驚到了：為什麽？究竟是為什麽？難道是我的真誠感動了上天，讓我的夢想變成了現實？
感謝天，感謝地，感謝命運讓我們相遇！
不對、不對，“即使我們工作取得了極其偉大的成績，也沒有任何值得驕傲自大的理由。虛心使人進步，驕傲使人落後，我們應當永遠記住這個真理”。江水源把圖書管理員的箴言默念三遍，擺正心態，繼續往下做題。
不到十點，江水源已經如同砍瓜切菜一般，把前麵十二道題目全部解決，順利抵達及格線。他甩甩手腕，決定一鼓作氣，在午飯前結束所有戰鬥，用學三食堂的火腿炒飯來歡慶高代的10學分順利到手。然後他就遇到了第13題。
設a、b是n階實對稱陣且ab+ba=0。證明：若a是半正定矩陣，則存在正交矩陣p，使得p''ap=diag{&mbda;1，...，&mbda;r，0，...，0}，p''bp=diag{0，...，0，μr+1，，μπ）。
題目看上去有些難度，關鍵後麵還綴了個尾巴：至少用2種以上方法證明。由此看來，出題者不是洗心革麵，放下屠刀吃齋念佛了，而是思路發生了點小變化。前12題是基礎題，保證隻要基本功紮實就能順利過關；後麵8題則是提高題，難度迅速抬升一個數量級，似乎刻意是要對答題者的能力做出篩選分級。
既然如此，那就來吧！
江水源心中略作盤算。雖然反交換的矩陣不一定有公共的特征向量，但是a的半正定性使得隻需要把問題限製在零特征值的特征子空間上討論就行了，此時a、b的反交換性就變成了交換性。所以第一種方法就是利用不變子空間理論，將問題轉化成幾何的語言，就可以很容易證明結論。
剛剛寫完，他又想到了另外一種方法，利用實對稱陣的正交相似標準形理論，假設a是正交相似標準形來做。嗯，so_easy!
進度13/20!
江水源剛要翻到下一題，突然想到一種更巧妙的方法，即利用a^2、b可以同時正交對角化，再用到半正定矩陣算術平方根的唯一性來證明，這種方法不僅更自然，也更簡單。
景鵬像是閑得無聊，整個上午都呆在自習室裏，優哉遊哉地翻看著江水源放在書架上的各種書籍。等到江水源做完第13題，馬上伸手拿過答題紙認真看了起來。江水源吐槽道：“景老師，不是說好開卷麽？怎麽感覺像是以開卷之名，行閉卷之實呀？”
“我就是隨便看看，礙著你翻書找資料了嗎？”景鵬好整以暇地調整了個坐姿。
“倒不礙著我翻書找資料，可是影響我考試心情啊！”
“都考試了，還能有什麽心情？趕緊做題吧！”景鵬安靜了不到十秒鍾，忍不住驚訝出聲：“欸，這個解法好精巧，我都沒想到過！”
江水源一聽就知道他說的是哪裏：“很巧妙吧？我也是突然來了靈感才想到的。”
景鵬讚許地點點頭：“不錯、不錯。不過能想到這個方法，隻能算是有點聰明；能把整張試卷按時做完，那才是真正把高等代數學好了。”
什麽意思？看來後麵的題目簡單不了啊！
事實證明，景鵬不是虛言恫嚇。江水源越往後做越覺得吃力，第15題剛開了個頭，突然有隻手伸到自己麵前：“飯卡！”
“嗯？”江水源順著手看過去，原來是那位相貌普通的低階科研狗，景鵬不知道什麽時候已經走了。
“午飯吃什麽？”
“哦，已經是中午了？麻煩來一份石鍋拌飯，一盒牛奶，謝謝。”
“好。”低階科研狗突然臉上帶著蜜汁微笑，神秘兮兮地問道，“在你們那個班，是不是班委什麽的也是按顏值來排的？比如說，長得最帥、最漂亮的當班長，排第二的當學委啥的？”
“是啊，你怎麽知道？當時我還是小組長呢！”
吃完某位八卦人士熱心送來的午飯，江水源把戰線繼續緩慢往前推進。如果說上次數分考試非常考驗人的耐心和腦筋急轉彎的能力，那麽這次高代考試顯然更注重人的思維能力和對知識的創新運用。換個角度說，上次數分考試像知識競賽，而這次高代考試像寫小論文。
到了晚上九點多鍾，終於順利推進道最後一道壓軸題，證明三個矩陣秩不等式中等號成立的充分必要條件。
眾所周知，矩陣理論是高等代數的重要組成部分，而矩陣的秩又是矩陣的一個重要數值參數。在矩陣運算前後，矩陣的秩會具有什麽樣的關係，教材上一般都給出了三個重要的矩陣秩不等式，分別是：
rank（a+b）≤ranka+rankb；
rank（ab）≤min{ranka，rankb}；
rank（ab）≥ranka+rankb-n，其中n為矩陣a的列數。
在江水源見過的線性代數教材中，或是從初等變換、或是從向量組的秩的角度給出上述三個不等式的證明，但都沒說清不等式在什麽情況下等式成立。那麽該如何證明上述三個矩陣秩不等式中等號成立的充要條件呢？