象數一
開元《大衍曆法》，最為精密，曆代用其朔法。至熙寧中考之，曆已後天五十餘刻，而前世曆官皆不能知。《奉元曆》乃移其閏朔。熙寧十年，天正元用午時，新曆改用子時；閏十二月改為閏正月。四夷朝貢者用舊曆，比來款塞。眾論謂氣至無顯驗可據，因此以搖新曆。事下有司考定。凡立冬晷景與立春之景相若者也，今二影短長不同，則知天正之氣偏也。凡移五十餘刻，立冬、立春之影方停。以此為驗，論者乃屈。元會使人亦至，曆法遂定。
六壬天十二辰：亥曰征明，為正月將；戍曰天魁，為二月將。古人謂之合神，又謂之太陽過宮。合神者，正月建寅合在亥，二月建卯合在戌之類。太陽過宮者，正月日躔娵訾，二月日躔降婁之類。二說一也。此以《顓帝曆》言之也。今則分為二說者，蓋日度隨黃道歲差。今太陽至雨水後方躔娵訾，春分後方躔降婁。若用合神，則須自立春日便用亥將，驚蟄便用戌將。今若用太陽，則不應合神；用合神，則不應太陽。以理推之，發課皆用月將加正時，如此則須當從太陽過宮。若不用太陽躔次，則當日當時日月、五星、支幹、二十八宿，皆不應天行。以此決知須用太陽也。然尚未是盡理，若盡理言之，並月建亦須移易。緣目今鬥杓昏刻巳不能當月建，須當隨黃道歲差。今則雨水後一日方合建寅，春分後四日方合建卯，穀雨後五日方合建辰，如此始與太陽相符，複會為一說。然須大改曆法，事事厘正。如東方蒼龍七宿，當起於亢，終於鬥；南方朱鳥七宿，起於東井，終於角；西方白虎七宿，起於婁，終於參；北方玄武七宿，起於牛，終於奎。如此曆法始正，不止六壬而已。
六壬天十二辰之名，古人釋其義曰：“正月陽氣始建，唿召萬物，故曰征明。二月物生根魁，故曰天魁。三月華葉從根而生，故曰從魁。四月陽極無所傳，故曰傳送。五月草木茂盛，逾於初生，故曰勝先。六月萬物小盛，故曰小吉。七月百穀成實，自能任持，故曰太一。八月枝條堅剛，故曰天罡。九月木可為枝幹，故曰太衝。十月萬物登成，可以會計，故曰功曹。十一月月建在子，君複其位，故曰大吉。十二月為酒醴以報百神，故曰神後。”此說極無稽據義理。予按，征明者，正月三陽始兆於地上，見龍在田，天下文明，故曰征明。天魁者，鬥魁第一星也，鬥魁第一星抵於戌，故曰天魁。從魁者，鬥魁第二星也，鬥魁第二星抵於酉，故曰從魁。傳送者，四月陽極將退，一陰欲生，故傳陰而送陽也。小吉，夏至之氣，大往小來，小人道長，小人之吉也，故為婚姻酒食之事。勝先者，王者向明而治，萬物相見乎此，勝莫先焉。太一者，太微垣所在，太一所居也。天罡者，鬥剛之所建也。太衝者，日月五星所出之門戶，天之衝也。功曹者，十月歲功成而會計也。大吉者，冬至之氣，小往大來，君子道長，大人之吉也，故主文武大臣之事。十二月子位北方之中，上帝所居也。神後，帝君之稱也。天十二辰也，故皆以天事名之。
六壬有十二神將，以義求之，止合有十一神將。貴人為之主；其前有五將，謂螣蛇、朱雀、六合、句陳、青龍也，此木火之神在方左者、其後有五將，謂天後、太陰、玄武、太常、白虎也，此金水之神在方右者。唯貴人對相無物，如日之在天，月對則虧，五星對則逆行避之，莫敢當其對。貴人亦然，莫有對者，故謂之天空。空者，無所有也，非神將也，猶月殺之有月空也。以之占事，吉兇皆空。唯求對見及有所伸理於君者，遇之乃吉。
天事以“辰”名者為多，皆本於“辰巳”之“辰”，今略舉數事。十二支謂之十二辰，一時謂之一辰，一日謂之一辰，日、月、星謂之三辰，北極謂之北辰，大火謂之大辰，五星中有辰星，五行之時謂之五辰，《書》曰“撫於五辰”是也。巳上皆謂之“辰”。今考子醜至於戌亥，謂之十二辰者，《左傳》雲：“日月之會是謂辰。”一歲日月十二會，則十二辰也。日月之所舍，始於東方蒼龍角亢之星，起於辰，故以所首者名之。子醜戌亥之月既謂之辰，則十二支、十二時皆子醜戌亥，則謂之辰無疑也。一日謂之一辰者，以十二支言也。以十幹言之，謂之今日；以十二支言之，謂之今辰，故支幹謂之日辰。日月星謂之三辰者，日月星至於辰而畢見，以其所見者名之，故皆謂之辰。星有三類：一經星，北極為之長；二舍星，大火為之長；三行星，辰星為之長。故皆謂之辰。
《洪範》“五行”數，自一至五，先儒謂之此“五行生數”，各益以土數，以為“成數。”以謂五行非土不成，故水生一而成六，火生二而成七，木生三而成八，金生四而成九，土生五而成十，合之為五十有五。唯《黃帝素問》：“土生數五，成數亦五。”蓋水、火、木、金皆待土而成，土更無所待，故止一五而已。畫而為圖，其理可見。為之圖者，設木於東，設金於西，火居南，水居北，土居中央。四方自為生數，各並中央之土，以為成數。土自居其位，更無所並，自然止有五數，蓋土不須更待士而成也。合五行之數為五十，則大衍之數也。此亦有理。
揲蓍之法：四十九蓍，聚之則一，而四十九隱於一中；散之則四十九，而一隱於四十九中。一者，道也。謂之無，則一在；謂之有，則不可取。四十九者，用也。靜則歸於一，動則惟睹其用，一在其間而不可取。此所謂“大衍之數五十，其用四十有九。”
世之談數者，蓋得其粗跡。然數有甚微者，非考曆所能知。況此但跡而已，至於感而遂通天下之故者，跡不預焉。此所以前知之神，未易可以跡求，況得其粗也。予之所謂甚微之跡者，世之言星者，恃曆以知之，曆亦出乎億而已。予於《奉元曆序》論之甚詳。治平中，金、火合於軫，以《崇玄》、《宣明》、《明》、《崇》、《欽天》凡十一家大曆步之，悉不合，有差三十日以上者，曆豈足恃哉。縱使在其度，然又有行黃道之裏者，行黃道之外者，行黃道之上者，行黃道之下者，有循度者，有失度者，有犯經星者，有犯客星者，所占各不同，此又非曆之能知也。又一時之間，天行三十餘度，總謂之一宮。然時有始末，豈可三十度間陰陽皆同，至交他宮則頓然差別？世言星曆難知，唯五行時日為可據，是亦不然。世之言五行消長者，止是知一歲之間，如冬至後日行盈度為陽，夏至後日行縮度為陰，二分行平度。殊不知一月之中，自有消長，望前月行盈度為陽，望後月行縮度為陰，兩弦行平度。至如春木、夏火、秋金、冬水，一月之中亦然。不止月中，一日之中亦然。《素問》雲：“疾在肝，寅卯患，申酉劇。病在心，巳午患，子亥劇。”此一日之中，自有四時也。安知一時之間無四時？安知一刻、一分、一刹那之中無四時邪？又安知十年、百年、一紀、一會、一元之間，又豈無大四時邪？又如春為木，九十日間，當亹亹消長，不可三月三十日亥時屬木，明日子時頓屬火也。似此之類，亦非世法可盡者。
曆法步歲之法，以冬至鬥建所抵，至明年冬至所得辰刻衰秒，謂之鬥分。故“歲”文從步、從戌。戌者，鬥魁所抵也。
正月寅，二月卯，謂之建，其說謂鬥杓所建。不必用此說。但春為寅、卯、辰，夏為巳、午、未，理自當然，不須因鬥建也。緣鬥建有歲差，蓋古人未有歲差之法。《顓帝曆》：“冬至日宿鬥初。”今宿鬥六度。古者正月鬥杓建寅，今則正月建醜矣。又歲與歲合，今亦差一辰。《堯典》曰：“日短星昴。”今乃日短星東壁。此皆隨歲差移也。
《唐書》雲：“落下閎造曆，自言後八百年當差一算。至唐，一行僧出而正之。”此妄說也。落下閎曆法極疏，蓋當時以為密耳。其間闕略甚多，且舉二事言之。漢世尚未知黃道歲差，至北齊張子信方候知歲差。今以今古曆校之，凡八十餘年差一度。則閎之曆八十年自已差一度，兼餘分疏闊，據其法推氣朔五星，當時便不可用，不待八十年。乃曰“八百年差一算”，太欺誕也。
天文家有渾儀，測天之器，設於崇台，以候垂象者，則古璣衡是也。渾象，象天之器，以水激之，或以水銀轉之，置於密室，與天行相符，張衡、陸績所為，及開元中置於武成殿者，皆此器也。皇祐中，禮部試《璣衡正天文之器賊》，舉人皆雜用渾象事，試官亦自不曉，第為高等。漢以前皆以北辰居天中，故謂之極星。自祖亙以璣衡考驗天極不動處，乃在極星之末猶一度有餘。熙寧中，予受詔典領曆官，雜考星曆，以璣衡求極星，初夜在窺管中，少時複出，以此知窺管小，不能容極星遊轉，乃稍稍展窺管候之，凡曆三月，極星方遊於窺管之內，常見不隱，然後知天極不動處，遠極星猶三度有餘。每極星入窺管，別畫為一圖。圖為一圓規，乃畫極星於規中。具初夜、中夜、後夜所見各圖之，凡為二百餘圖，極星方常循圓規之內，夜夜不差。予於《熙寧曆奏議》中敘之甚詳。
古今言刻漏者數十家，悉皆疏繆。曆家言晷漏者，自《顓帝曆》至今見於世謂之大曆者，凡二十五家，其步漏之術，皆未合天度。予占天候景，以至驗於儀象，考數下漏，凡十餘年，方粗見真數，成書四第，謂之《熙寧晷漏》，皆非襲蹈前人之跡。其間二事尤微。一者，下漏家常患冬月水澀，夏月水利，以為水性如此，又疑冰澌所壅，萬方理之，終不應法。予以理求之，冬至日行速，天運未期，而日已過表，故百刻而有餘；夏至日行遲，天運已期，而日未至表，故不及百刻。既得此數，然後複求晷景漏刻，莫不吻合。此古人之所未知也。二者，日之盈縮，其消長以漸，無一日頓殊之理。曆法皆以一日之氣短長之中者，播為刻分，累損益氣初日衰，每日消長常同，至交一氣，則頓易刻衰。故黃道有觚而不圜，縱有強為數以步之者，亦非乘理用算，而多形數相詭。大凡物有定形，形有真數。方圜端斜，定形也；乘除相蕩，無所附益，泯然冥會者，真數也。其術可以心得，不可以言喻。黃道環天正圜，圜之為體，循之則其妥至均，不均不能中規衡；絕之則有舒有數，無舒數則不能成妥。以圜法相蕩而得衰，則衰無不均；以妥法相蕩而得差，則差有疏數。相因以求從，相消以求負，從、負相入，會一術以禦日行。以言其變，則秒刻之間，消長未嚐同；以言其齊，則止用一衰，循環無端，終始如貫，不能議其隙。此圜法之微，古之言算者，有所未知也。以日衰生日積，反生日衰，終始相求，迭為賓主，順循之以索日變，衡別之求去極之度，合散無跡，泯如運規。非深知造算之理者，不能與其微也。其詳具予奏議，藏在史官，及予所著《熙寧晷漏》四第之中。
予編校昭文書時，預詳定渾天儀。官長問予：“二十八宿，多者三十三度，少者止一度，如此不均，何也？”予對曰：“天事本無度，推曆者無以寓其數，乃以日所行分天為三百六十五度有奇。既分之，必有物記之，然後可窺而數，於是以當度之星記之。循黃道，日之所行一期，當者止二十八宿而已。今所謂‘距度星’者是也。非不欲均也，黃道所由當度之星，止有此而已。”
開元《大衍曆法》，最為精密，曆代用其朔法。至熙寧中考之，曆已後天五十餘刻，而前世曆官皆不能知。《奉元曆》乃移其閏朔。熙寧十年，天正元用午時，新曆改用子時；閏十二月改為閏正月。四夷朝貢者用舊曆，比來款塞。眾論謂氣至無顯驗可據，因此以搖新曆。事下有司考定。凡立冬晷景與立春之景相若者也，今二影短長不同，則知天正之氣偏也。凡移五十餘刻，立冬、立春之影方停。以此為驗，論者乃屈。元會使人亦至，曆法遂定。
六壬天十二辰：亥曰征明，為正月將；戍曰天魁，為二月將。古人謂之合神，又謂之太陽過宮。合神者，正月建寅合在亥，二月建卯合在戌之類。太陽過宮者，正月日躔娵訾，二月日躔降婁之類。二說一也。此以《顓帝曆》言之也。今則分為二說者，蓋日度隨黃道歲差。今太陽至雨水後方躔娵訾，春分後方躔降婁。若用合神，則須自立春日便用亥將，驚蟄便用戌將。今若用太陽，則不應合神；用合神，則不應太陽。以理推之，發課皆用月將加正時，如此則須當從太陽過宮。若不用太陽躔次，則當日當時日月、五星、支幹、二十八宿，皆不應天行。以此決知須用太陽也。然尚未是盡理，若盡理言之，並月建亦須移易。緣目今鬥杓昏刻巳不能當月建，須當隨黃道歲差。今則雨水後一日方合建寅，春分後四日方合建卯，穀雨後五日方合建辰，如此始與太陽相符，複會為一說。然須大改曆法，事事厘正。如東方蒼龍七宿，當起於亢，終於鬥；南方朱鳥七宿，起於東井，終於角；西方白虎七宿，起於婁，終於參；北方玄武七宿，起於牛，終於奎。如此曆法始正，不止六壬而已。
六壬天十二辰之名，古人釋其義曰：“正月陽氣始建，唿召萬物，故曰征明。二月物生根魁，故曰天魁。三月華葉從根而生，故曰從魁。四月陽極無所傳，故曰傳送。五月草木茂盛，逾於初生，故曰勝先。六月萬物小盛，故曰小吉。七月百穀成實，自能任持，故曰太一。八月枝條堅剛，故曰天罡。九月木可為枝幹，故曰太衝。十月萬物登成，可以會計，故曰功曹。十一月月建在子，君複其位，故曰大吉。十二月為酒醴以報百神，故曰神後。”此說極無稽據義理。予按，征明者，正月三陽始兆於地上，見龍在田，天下文明，故曰征明。天魁者，鬥魁第一星也，鬥魁第一星抵於戌，故曰天魁。從魁者，鬥魁第二星也，鬥魁第二星抵於酉，故曰從魁。傳送者，四月陽極將退，一陰欲生，故傳陰而送陽也。小吉，夏至之氣，大往小來，小人道長，小人之吉也，故為婚姻酒食之事。勝先者，王者向明而治，萬物相見乎此，勝莫先焉。太一者，太微垣所在，太一所居也。天罡者，鬥剛之所建也。太衝者，日月五星所出之門戶，天之衝也。功曹者，十月歲功成而會計也。大吉者，冬至之氣，小往大來，君子道長，大人之吉也，故主文武大臣之事。十二月子位北方之中，上帝所居也。神後，帝君之稱也。天十二辰也，故皆以天事名之。
六壬有十二神將，以義求之，止合有十一神將。貴人為之主；其前有五將，謂螣蛇、朱雀、六合、句陳、青龍也，此木火之神在方左者、其後有五將，謂天後、太陰、玄武、太常、白虎也，此金水之神在方右者。唯貴人對相無物，如日之在天，月對則虧，五星對則逆行避之，莫敢當其對。貴人亦然，莫有對者，故謂之天空。空者，無所有也，非神將也，猶月殺之有月空也。以之占事，吉兇皆空。唯求對見及有所伸理於君者，遇之乃吉。
天事以“辰”名者為多，皆本於“辰巳”之“辰”，今略舉數事。十二支謂之十二辰，一時謂之一辰，一日謂之一辰，日、月、星謂之三辰，北極謂之北辰，大火謂之大辰，五星中有辰星，五行之時謂之五辰，《書》曰“撫於五辰”是也。巳上皆謂之“辰”。今考子醜至於戌亥，謂之十二辰者，《左傳》雲：“日月之會是謂辰。”一歲日月十二會，則十二辰也。日月之所舍，始於東方蒼龍角亢之星，起於辰，故以所首者名之。子醜戌亥之月既謂之辰，則十二支、十二時皆子醜戌亥，則謂之辰無疑也。一日謂之一辰者，以十二支言也。以十幹言之，謂之今日；以十二支言之，謂之今辰，故支幹謂之日辰。日月星謂之三辰者，日月星至於辰而畢見，以其所見者名之，故皆謂之辰。星有三類：一經星，北極為之長；二舍星，大火為之長；三行星，辰星為之長。故皆謂之辰。
《洪範》“五行”數，自一至五，先儒謂之此“五行生數”，各益以土數，以為“成數。”以謂五行非土不成，故水生一而成六，火生二而成七，木生三而成八，金生四而成九，土生五而成十，合之為五十有五。唯《黃帝素問》：“土生數五，成數亦五。”蓋水、火、木、金皆待土而成，土更無所待，故止一五而已。畫而為圖，其理可見。為之圖者，設木於東，設金於西，火居南，水居北，土居中央。四方自為生數，各並中央之土，以為成數。土自居其位，更無所並，自然止有五數，蓋土不須更待士而成也。合五行之數為五十，則大衍之數也。此亦有理。
揲蓍之法：四十九蓍，聚之則一，而四十九隱於一中；散之則四十九，而一隱於四十九中。一者，道也。謂之無，則一在；謂之有，則不可取。四十九者，用也。靜則歸於一，動則惟睹其用，一在其間而不可取。此所謂“大衍之數五十，其用四十有九。”
世之談數者，蓋得其粗跡。然數有甚微者，非考曆所能知。況此但跡而已，至於感而遂通天下之故者，跡不預焉。此所以前知之神，未易可以跡求，況得其粗也。予之所謂甚微之跡者，世之言星者，恃曆以知之，曆亦出乎億而已。予於《奉元曆序》論之甚詳。治平中，金、火合於軫，以《崇玄》、《宣明》、《明》、《崇》、《欽天》凡十一家大曆步之，悉不合，有差三十日以上者，曆豈足恃哉。縱使在其度，然又有行黃道之裏者，行黃道之外者，行黃道之上者，行黃道之下者，有循度者，有失度者，有犯經星者，有犯客星者，所占各不同，此又非曆之能知也。又一時之間，天行三十餘度，總謂之一宮。然時有始末，豈可三十度間陰陽皆同，至交他宮則頓然差別？世言星曆難知，唯五行時日為可據，是亦不然。世之言五行消長者，止是知一歲之間，如冬至後日行盈度為陽，夏至後日行縮度為陰，二分行平度。殊不知一月之中，自有消長，望前月行盈度為陽，望後月行縮度為陰，兩弦行平度。至如春木、夏火、秋金、冬水，一月之中亦然。不止月中，一日之中亦然。《素問》雲：“疾在肝，寅卯患，申酉劇。病在心，巳午患，子亥劇。”此一日之中，自有四時也。安知一時之間無四時？安知一刻、一分、一刹那之中無四時邪？又安知十年、百年、一紀、一會、一元之間，又豈無大四時邪？又如春為木，九十日間，當亹亹消長，不可三月三十日亥時屬木，明日子時頓屬火也。似此之類，亦非世法可盡者。
曆法步歲之法，以冬至鬥建所抵，至明年冬至所得辰刻衰秒，謂之鬥分。故“歲”文從步、從戌。戌者，鬥魁所抵也。
正月寅，二月卯，謂之建，其說謂鬥杓所建。不必用此說。但春為寅、卯、辰，夏為巳、午、未，理自當然，不須因鬥建也。緣鬥建有歲差，蓋古人未有歲差之法。《顓帝曆》：“冬至日宿鬥初。”今宿鬥六度。古者正月鬥杓建寅，今則正月建醜矣。又歲與歲合，今亦差一辰。《堯典》曰：“日短星昴。”今乃日短星東壁。此皆隨歲差移也。
《唐書》雲：“落下閎造曆，自言後八百年當差一算。至唐，一行僧出而正之。”此妄說也。落下閎曆法極疏，蓋當時以為密耳。其間闕略甚多，且舉二事言之。漢世尚未知黃道歲差，至北齊張子信方候知歲差。今以今古曆校之，凡八十餘年差一度。則閎之曆八十年自已差一度，兼餘分疏闊，據其法推氣朔五星，當時便不可用，不待八十年。乃曰“八百年差一算”，太欺誕也。
天文家有渾儀，測天之器，設於崇台，以候垂象者，則古璣衡是也。渾象，象天之器，以水激之，或以水銀轉之，置於密室，與天行相符，張衡、陸績所為，及開元中置於武成殿者，皆此器也。皇祐中，禮部試《璣衡正天文之器賊》，舉人皆雜用渾象事，試官亦自不曉，第為高等。漢以前皆以北辰居天中，故謂之極星。自祖亙以璣衡考驗天極不動處，乃在極星之末猶一度有餘。熙寧中，予受詔典領曆官，雜考星曆，以璣衡求極星，初夜在窺管中，少時複出，以此知窺管小，不能容極星遊轉，乃稍稍展窺管候之，凡曆三月，極星方遊於窺管之內，常見不隱，然後知天極不動處，遠極星猶三度有餘。每極星入窺管，別畫為一圖。圖為一圓規，乃畫極星於規中。具初夜、中夜、後夜所見各圖之，凡為二百餘圖，極星方常循圓規之內，夜夜不差。予於《熙寧曆奏議》中敘之甚詳。
古今言刻漏者數十家，悉皆疏繆。曆家言晷漏者，自《顓帝曆》至今見於世謂之大曆者，凡二十五家，其步漏之術，皆未合天度。予占天候景，以至驗於儀象，考數下漏，凡十餘年，方粗見真數，成書四第，謂之《熙寧晷漏》，皆非襲蹈前人之跡。其間二事尤微。一者，下漏家常患冬月水澀，夏月水利，以為水性如此，又疑冰澌所壅，萬方理之，終不應法。予以理求之，冬至日行速，天運未期，而日已過表，故百刻而有餘；夏至日行遲，天運已期，而日未至表，故不及百刻。既得此數，然後複求晷景漏刻，莫不吻合。此古人之所未知也。二者，日之盈縮，其消長以漸，無一日頓殊之理。曆法皆以一日之氣短長之中者，播為刻分，累損益氣初日衰，每日消長常同，至交一氣，則頓易刻衰。故黃道有觚而不圜，縱有強為數以步之者，亦非乘理用算，而多形數相詭。大凡物有定形，形有真數。方圜端斜，定形也；乘除相蕩，無所附益，泯然冥會者，真數也。其術可以心得，不可以言喻。黃道環天正圜，圜之為體，循之則其妥至均，不均不能中規衡；絕之則有舒有數，無舒數則不能成妥。以圜法相蕩而得衰，則衰無不均；以妥法相蕩而得差，則差有疏數。相因以求從，相消以求負，從、負相入，會一術以禦日行。以言其變，則秒刻之間，消長未嚐同；以言其齊，則止用一衰，循環無端，終始如貫，不能議其隙。此圜法之微，古之言算者，有所未知也。以日衰生日積，反生日衰，終始相求，迭為賓主，順循之以索日變，衡別之求去極之度，合散無跡，泯如運規。非深知造算之理者，不能與其微也。其詳具予奏議，藏在史官，及予所著《熙寧晷漏》四第之中。
予編校昭文書時，預詳定渾天儀。官長問予：“二十八宿，多者三十三度，少者止一度，如此不均，何也？”予對曰：“天事本無度，推曆者無以寓其數，乃以日所行分天為三百六十五度有奇。既分之，必有物記之，然後可窺而數，於是以當度之星記之。循黃道，日之所行一期，當者止二十八宿而已。今所謂‘距度星’者是也。非不欲均也，黃道所由當度之星，止有此而已。”