第 217 章 深入橢圓的世界
幾日之後，戴浩文先生再次踏入講堂。學生們早已整齊端坐，眼中滿是對知識的渴望。
戴浩文清了清嗓子，說道：“今日，吾等繼續探究橢圓之奧秘。上次所講，諸位對橢圓已有初步認知，今次著重講解橢圓之焦點與三角形性質。”
李華拱手問道：“先生，這橢圓的焦點究竟有何奇妙之處？”
戴浩文微微一笑，道：“李華，且聽吾道來。橢圓之焦點，乃橢圓性質之關鍵所在。設橢圓兩焦點分別為 f?、f?，橢圓上任意一點為 p，便可得三角形 pf?f?。此三角形之中，存有諸多有趣之性質。”
王強急切問道：“先生，願聞其詳。”
戴浩文踱步至黑板前，邊畫邊說：“其一，三角形 pf?f?之周長，恆為定值，其值為 2a + 2c，其中 a 為長半軸，c 為焦距之半。”
趙婷疑惑道：“先生，此定值如何得來？”
戴浩文耐心解釋：“趙婷，汝且思之。橢圓上一點 p 至兩焦點距離之和為 2a，而兩焦點間距離為 2c，故周長為 2a + 2c。”
張明思索片刻，道：“先生，那此三角形之麵積可有定法計算？”
戴浩文點頭道：“張明此問甚妙。三角形 pf?f?之麵積，可由公式 s = b2 x tan(θ\/2)計算，其中 θ 為角 f?pf?。”
李華撓頭道：“先生，這θ又如何得知？”
戴浩文笑曰：“李華莫急，θ雖難求，然若已知點 p 坐標及橢圓方程，通過向量之法，可算得角 f?pf?之餘弦值，進而得θ。”
王強又道：“先生，若已知三角形麵積，能否反推橢圓之某些參數？”
戴浩文讚許道：“王強能作此想，實乃善思。若已知麵積，結合其他條件，或可推知橢圓之某些參數。”
此時，學生們皆陷入沉思，各自在腦中推演。
戴浩文見狀，說道：“吾再舉一例，助汝等理解。假設有一橢圓，焦點 f?(-2, 0)，f?(2, 0)，且三角形 pf?f?麵積為 3，點 p 縱坐標為 1，試求橢圓方程。”
學生們紛紛提筆計算。
過了片刻，趙婷道：“先生，學生算得 c = 2，由麵積可得底邊 f?f?長度為 4，高為 1，故三角形麵積為 2，與題中不符，是否有誤？”
戴浩文搖頭道：“趙婷，再思之。麵積應為 1\/2 x 4 x 1 = 2 ，然題中麵積為 3，可知另有玄機。”
李華恍然道：“先生，莫非與角 f?pf?有關？”
戴浩文笑道：“李華聰慧，正是如此。汝等當繼續深究。”
戴浩文又道：“再論橢圓焦點與準線之關係。橢圓之準線，與焦點緊密相連。準線方程為 x = ± a2\/c 。”
王強問道：“先生，此準線有何用途？”
戴浩文迴道：“王強，準線之於橢圓，猶如規矩之於方圓。橢圓上一點至焦點與至準線之距離，有固定比例，此比例即為離心率 e 。”
張明道：“先生，如此複雜，實難一時領會。”
戴浩文鼓勵道：“張明，學問之道，貴乎持之以恆。多加思索，定能通透。”
戴浩文繼續講解：“且說這橢圓焦點與三角形性質，若三角形 pf?f?為等腰三角形，又當如何？”
學生們再度陷入沉思。
李華率先道：“先生，若 pf? = pf? ，是否可推出點 p 在橢圓短軸頂點？”
戴浩文點頭道：“李華所言不差。若 pf? = f?f? 或 pf? = f?f? ，又當如何？”
眾人皆苦思冥想。
趙婷道：“先生，學生以為可通過距離公式求解。”
戴浩文道：“趙婷思路正確，不妨一試。”
學生們紛紛動筆演算。
戴浩文看著學生們專注之態，心中甚喜。
一堂課畢，戴浩文道：“今日所講，望諸位課後細細琢磨。”
學生們行禮道：“多謝先生。”
課後，學生們三五成群，討論著課堂所學。
李華與張明道：“今日之課，實乃深奧，需多下功夫。”
張明應道：“誠然，然有先生教導，定能攻克。”
王強與趙婷亦在探討，時而爭論，時而恍然。
數日後，又至課堂。
戴浩文道：“前次所講，汝等可有心得？”
學生們紛紛點頭。
戴浩文道：“甚好。那吾再出幾道題目，以驗汝等之所學。”
題目一出，學生們便埋頭作答。
戴浩文在堂中巡視，時而點頭，時而皺眉。
半晌，李華道：“先生，此題學生解得如此，不知對否？”
戴浩文看後，道：“李華，思路正確，然過程略有疏漏，當謹慎。”
王強亦道：“先生，此問學生不解。”
戴浩文遂為其詳細講解。
如此往複，一堂課在師生之探討中度過。
隨著課程之推進，學生們對橢圓焦點與三角形性質之理解愈發深刻。
又過些時日，戴浩文決定舉行一場小考。
考場上，學生們神情專注，奮筆疾書。
考試結束，戴浩文認真批閱。
再至課堂，戴浩文道：“此次小考，汝等表現尚可。然仍有不足之處，需繼續努力。”
學生們皆虛心受教。
此後，學生們在橢圓之學問上不斷精進，戴浩文亦倍感欣慰。
幾日之後，戴浩文先生再次踏入講堂。學生們早已整齊端坐，眼中滿是對知識的渴望。
戴浩文清了清嗓子，說道：“今日，吾等繼續探究橢圓之奧秘。上次所講，諸位對橢圓已有初步認知，今次著重講解橢圓之焦點與三角形性質。”
李華拱手問道：“先生，這橢圓的焦點究竟有何奇妙之處？”
戴浩文微微一笑，道：“李華，且聽吾道來。橢圓之焦點，乃橢圓性質之關鍵所在。設橢圓兩焦點分別為 f?、f?，橢圓上任意一點為 p，便可得三角形 pf?f?。此三角形之中，存有諸多有趣之性質。”
王強急切問道：“先生，願聞其詳。”
戴浩文踱步至黑板前，邊畫邊說：“其一，三角形 pf?f?之周長，恆為定值，其值為 2a + 2c，其中 a 為長半軸，c 為焦距之半。”
趙婷疑惑道：“先生，此定值如何得來？”
戴浩文耐心解釋：“趙婷，汝且思之。橢圓上一點 p 至兩焦點距離之和為 2a，而兩焦點間距離為 2c，故周長為 2a + 2c。”
張明思索片刻，道：“先生，那此三角形之麵積可有定法計算？”
戴浩文點頭道：“張明此問甚妙。三角形 pf?f?之麵積，可由公式 s = b2 x tan(θ\/2)計算，其中 θ 為角 f?pf?。”
李華撓頭道：“先生，這θ又如何得知？”
戴浩文笑曰：“李華莫急，θ雖難求，然若已知點 p 坐標及橢圓方程，通過向量之法，可算得角 f?pf?之餘弦值，進而得θ。”
王強又道：“先生，若已知三角形麵積，能否反推橢圓之某些參數？”
戴浩文讚許道：“王強能作此想，實乃善思。若已知麵積，結合其他條件，或可推知橢圓之某些參數。”
此時，學生們皆陷入沉思，各自在腦中推演。
戴浩文見狀，說道：“吾再舉一例，助汝等理解。假設有一橢圓，焦點 f?(-2, 0)，f?(2, 0)，且三角形 pf?f?麵積為 3，點 p 縱坐標為 1，試求橢圓方程。”
學生們紛紛提筆計算。
過了片刻，趙婷道：“先生，學生算得 c = 2，由麵積可得底邊 f?f?長度為 4，高為 1，故三角形麵積為 2，與題中不符，是否有誤？”
戴浩文搖頭道：“趙婷，再思之。麵積應為 1\/2 x 4 x 1 = 2 ，然題中麵積為 3，可知另有玄機。”
李華恍然道：“先生，莫非與角 f?pf?有關？”
戴浩文笑道：“李華聰慧，正是如此。汝等當繼續深究。”
戴浩文又道：“再論橢圓焦點與準線之關係。橢圓之準線，與焦點緊密相連。準線方程為 x = ± a2\/c 。”
王強問道：“先生，此準線有何用途？”
戴浩文迴道：“王強，準線之於橢圓，猶如規矩之於方圓。橢圓上一點至焦點與至準線之距離，有固定比例，此比例即為離心率 e 。”
張明道：“先生，如此複雜，實難一時領會。”
戴浩文鼓勵道：“張明，學問之道，貴乎持之以恆。多加思索，定能通透。”
戴浩文繼續講解：“且說這橢圓焦點與三角形性質，若三角形 pf?f?為等腰三角形，又當如何？”
學生們再度陷入沉思。
李華率先道：“先生，若 pf? = pf? ，是否可推出點 p 在橢圓短軸頂點？”
戴浩文點頭道：“李華所言不差。若 pf? = f?f? 或 pf? = f?f? ，又當如何？”
眾人皆苦思冥想。
趙婷道：“先生，學生以為可通過距離公式求解。”
戴浩文道：“趙婷思路正確，不妨一試。”
學生們紛紛動筆演算。
戴浩文看著學生們專注之態，心中甚喜。
一堂課畢，戴浩文道：“今日所講，望諸位課後細細琢磨。”
學生們行禮道：“多謝先生。”
課後，學生們三五成群，討論著課堂所學。
李華與張明道：“今日之課，實乃深奧，需多下功夫。”
張明應道：“誠然，然有先生教導，定能攻克。”
王強與趙婷亦在探討，時而爭論，時而恍然。
數日後，又至課堂。
戴浩文道：“前次所講，汝等可有心得？”
學生們紛紛點頭。
戴浩文道：“甚好。那吾再出幾道題目，以驗汝等之所學。”
題目一出，學生們便埋頭作答。
戴浩文在堂中巡視，時而點頭，時而皺眉。
半晌，李華道：“先生，此題學生解得如此，不知對否？”
戴浩文看後，道：“李華，思路正確，然過程略有疏漏，當謹慎。”
王強亦道：“先生，此問學生不解。”
戴浩文遂為其詳細講解。
如此往複，一堂課在師生之探討中度過。
隨著課程之推進，學生們對橢圓焦點與三角形性質之理解愈發深刻。
又過些時日，戴浩文決定舉行一場小考。
考場上，學生們神情專注，奮筆疾書。
考試結束，戴浩文認真批閱。
再至課堂，戴浩文道：“此次小考，汝等表現尚可。然仍有不足之處，需繼續努力。”
學生們皆虛心受教。
此後，學生們在橢圓之學問上不斷精進，戴浩文亦倍感欣慰。