第 203 章 絕對值之妙理
數日又過，戴浩文再登講堂，欲授學子以絕對值之概念。其容端肅，目光深邃，執一卷書，緩聲道：“今日吾與汝等研討絕對值之妙理，望爾等傾心聆聽，用心領悟。”
言罷，於黑板之上書一數字，曰：“此數為負三，其絕對值為何？”
眾學子麵麵相覷，稍作思索。一膽大之學子起身答曰：“先生，負三之絕對值為三。”
戴浩文微微點頭，曰：“善。絕對值者，乃數於數軸之上距零之距離也。不論正負，其距零之距恆為正，此乃絕對值之要義。”
遂又書數“正五”，問曰：“此數之絕對值若何？”
眾學子齊聲應曰：“亦為五。”
戴浩文笑曰：“誠然。吾再舉一例，若有一數為零，其絕對值又當如何？”
一聰慧學子搶答曰：“先生，零之絕對值即為零也。”
戴浩文撫掌讚曰：“妙哉！汝等已初窺門徑。今思之，若有數負七，其絕對值之算式當如何書？”
學子們紛紛動筆，片刻後，一生答曰：“當書為| - 7 | = 7 。”
戴浩文曰：“善。吾再出一題，若知一數之絕對值為八，此數可為幾何？”
堂下一時靜謐，少頃，有學子言道：“先生，此數可為正八或負八。”
戴浩文曰：“極是。由此可見，知絕對值而求原數，當有兩解，一正一負。”
又書一題：“若 | x - 2 | = 5 ，求 x 之值。”
眾學子陷入沉思，紛紛推演計算。一學子起身道：“先生，若 x - 2 為正，則 x - 2 = 5 ，x 為 7 ；若 x - 2 為負，則 x - 2 = -5 ，x 為 -3 。”
戴浩文欣然曰：“善。再觀此題，若 | 2x + 3 | = 7 ，又當如何求解？”
學子們分組討論，各抒己見。須臾，有一組代表起身曰：“先生，若 2x + 3 為正，則 2x + 3 = 7 ，解得 x 為 2 ；若 2x + 3 為負，則 2x + 3 = -7 ，解得 x 為 -5 。”
戴浩文點頭曰：“不錯。絕對值之理，於方程求解中多有應用。今再思之，若 | x | ＜ 3 ，則 x 之取值範圍若何？”
眾學子苦思冥想，一學子曰：“先生，此意為 x 距零之距離小於三，故 x 大於負三而小於正三。”
戴浩文曰：“善。若 | x | ＞ 5 ，又當如何？”
一生應曰：“先生，此則為 x 小於負五或 x 大於正五。”
戴浩文曰：“妙極。吾再出一題稍難者。若 | 3x - 1 | ≤ 4 ，求 x 之範圍。”
學子們奮筆疾書，演算良久。一學子上台板書其解：“若 3x - 1 為正，則 3x - 1 ≤ 4 ，解得 x ≤ 5 \/ 3 ；若 3x - 1 為負，則 3x - 1 ≥ -4 ，解得 x ≥ -1 。故 x 大於等於負一且小於等於五分之三。”
戴浩文微笑曰：“甚好。絕對值之概念，亦用於不等式之求解，需謹慎分析，莫出差錯。”
又曰：“今有一數軸，點 a 對應之數為 x ，其絕對值為 2 ，點 b 對應之數為 y ，其絕對值為 3 ，且點 a 在點 b 之左，求 x 、 y 可能之值及 a 、 b 兩點間距。”
眾學子沉思片刻，紛紛作答。一學子言：“先生， x 可為正負 2 ， y 可為正負 3 。因點 a 在點 b 之左，故當 x 為 2 時， y 為 3 ，間距為 1 ；當 x 為 -2 時， y 為 3 ，間距為 5 ；當 x 為 2 時， y 為 -3 ，間距為 5 ；當 x 為 -2 時， y 為 -3 ，間距為 1 。”
戴浩文曰：“甚是詳盡。絕對值之理，於數軸之上，可明數之位置與距離，頗有用處。”
繼而再出一題：“若 | a + 1 | + | b - 2 | = 0 ，求 a 、 b 之值。”
眾學子交頭接耳，議論紛紛。一學子起身曰：“先生，絕對值皆為非負，二者之和為零，則 | a + 1 | = 0 且 | b - 2 | = 0 ，故 a 為 -1 ， b 為 2 。”
戴浩文撫須曰：“聰慧！此類題需明絕對值之非負性。”
時光漸逝，日已偏西，戴浩文曰：“今日所講絕對值之概念，爾等當反複溫習，多加思索。明日吾將再考汝等。”
眾學子行禮而退，皆心有所思。
次日，戴浩文複至講堂，先迴顧昨日所學，而後又出數題。
“若 | x - 3 | + | x + 2 | = 7 ，求 x 之值。”
學子們靜心思考，逐一演算。
一學子上前作答：“先生，當分三段討論。若 x 小於等於 -2 ，則 3 - x - x - 2 = 7 ，解得 x = -3 ；若 x 大於 -2 且小於 3 ，則 3 - x + x + 2 ≠ 7 ，無解；若 x 大於等於 3 ，則 x - 3 + x + 2 = 7 ，解得 x = 4 。”
戴浩文曰：“善。再看此題，若 | 2x - 1 | - | x + 3 | = 2 ，求 x 之範圍。”
眾學子分組探討，各抒己見。
一組代表起身言曰：“先生，亦當分段討論。若 x 小於等於 -3 ，則 1 - 2x + x + 3 = 2 ，解得 x = 2 ，不合條件；若 x 大於 -3 且小於 1 \/ 2 ，則 1 - 2x - x - 3 = 2 ，解得 x = -4 \/ 3 ；若 x 大於等於 1 \/ 2 ，則 2x - 1 - x - 3 = 2 ，解得 x = 6 。”
戴浩文點頭曰：“不錯。此類題需細心思量，莫漏解也。”
又出一題：“若關於 x 之方程 | 3x - 5 | = m 有解，求 m 之取值範圍。”
一學子應曰：“先生，因絕對值非負，故 m 大於等於零方程有解。”
戴浩文曰：“然也。再思此題，若關於 x 之不等式 | 2x + 1 | ＞ a 恆成立，求 a 之範圍。”
一生答曰：“先生，因 | 2x + 1 | 最小值為零，故 a 小於零不等式恆成立。”
戴浩文笑曰：“妙哉！汝等悟性頗高。”
如此數日，戴浩文以種種實例，令學子們對絕對值之概念與應用愈發精通。
或有一題：“已知 | x - 1 | + | y + 2 | = 0 ，且 2x + 3y + z = 10 ，求 z 之值。”
眾學子深思熟慮，終得答案。
戴浩文一一評點，使眾人皆有所獲。
又有：“若 | x - 2 | + | 2x - 1 | = 5 ，求 x 之值。”
學子們爭論不休，各執一詞，最終在戴浩文的引導下，得出正解。
光陰似箭，學子們於絕對值之研學中漸入佳境。
一日，戴浩文考校學子，見眾人應答如流，心甚慰之。
曰：“汝等學業有成，然不可驕矜，數學之道，廣袤無垠，當持之以恆，上下求索。”
眾學子躬身行禮，謹遵師訓。
自此，學子們懷絕對值之理，續探數學之奧秘。
數日又過，戴浩文再登講堂，欲授學子以絕對值之概念。其容端肅，目光深邃，執一卷書，緩聲道：“今日吾與汝等研討絕對值之妙理，望爾等傾心聆聽，用心領悟。”
言罷，於黑板之上書一數字，曰：“此數為負三，其絕對值為何？”
眾學子麵麵相覷，稍作思索。一膽大之學子起身答曰：“先生，負三之絕對值為三。”
戴浩文微微點頭，曰：“善。絕對值者，乃數於數軸之上距零之距離也。不論正負，其距零之距恆為正，此乃絕對值之要義。”
遂又書數“正五”，問曰：“此數之絕對值若何？”
眾學子齊聲應曰：“亦為五。”
戴浩文笑曰：“誠然。吾再舉一例，若有一數為零，其絕對值又當如何？”
一聰慧學子搶答曰：“先生，零之絕對值即為零也。”
戴浩文撫掌讚曰：“妙哉！汝等已初窺門徑。今思之，若有數負七，其絕對值之算式當如何書？”
學子們紛紛動筆，片刻後，一生答曰：“當書為| - 7 | = 7 。”
戴浩文曰：“善。吾再出一題，若知一數之絕對值為八，此數可為幾何？”
堂下一時靜謐，少頃，有學子言道：“先生，此數可為正八或負八。”
戴浩文曰：“極是。由此可見，知絕對值而求原數，當有兩解，一正一負。”
又書一題：“若 | x - 2 | = 5 ，求 x 之值。”
眾學子陷入沉思，紛紛推演計算。一學子起身道：“先生，若 x - 2 為正，則 x - 2 = 5 ，x 為 7 ；若 x - 2 為負，則 x - 2 = -5 ，x 為 -3 。”
戴浩文欣然曰：“善。再觀此題，若 | 2x + 3 | = 7 ，又當如何求解？”
學子們分組討論，各抒己見。須臾，有一組代表起身曰：“先生，若 2x + 3 為正，則 2x + 3 = 7 ，解得 x 為 2 ；若 2x + 3 為負，則 2x + 3 = -7 ，解得 x 為 -5 。”
戴浩文點頭曰：“不錯。絕對值之理，於方程求解中多有應用。今再思之，若 | x | ＜ 3 ，則 x 之取值範圍若何？”
眾學子苦思冥想，一學子曰：“先生，此意為 x 距零之距離小於三，故 x 大於負三而小於正三。”
戴浩文曰：“善。若 | x | ＞ 5 ，又當如何？”
一生應曰：“先生，此則為 x 小於負五或 x 大於正五。”
戴浩文曰：“妙極。吾再出一題稍難者。若 | 3x - 1 | ≤ 4 ，求 x 之範圍。”
學子們奮筆疾書，演算良久。一學子上台板書其解：“若 3x - 1 為正，則 3x - 1 ≤ 4 ，解得 x ≤ 5 \/ 3 ；若 3x - 1 為負，則 3x - 1 ≥ -4 ，解得 x ≥ -1 。故 x 大於等於負一且小於等於五分之三。”
戴浩文微笑曰：“甚好。絕對值之概念，亦用於不等式之求解，需謹慎分析，莫出差錯。”
又曰：“今有一數軸，點 a 對應之數為 x ，其絕對值為 2 ，點 b 對應之數為 y ，其絕對值為 3 ，且點 a 在點 b 之左，求 x 、 y 可能之值及 a 、 b 兩點間距。”
眾學子沉思片刻，紛紛作答。一學子言：“先生， x 可為正負 2 ， y 可為正負 3 。因點 a 在點 b 之左，故當 x 為 2 時， y 為 3 ，間距為 1 ；當 x 為 -2 時， y 為 3 ，間距為 5 ；當 x 為 2 時， y 為 -3 ，間距為 5 ；當 x 為 -2 時， y 為 -3 ，間距為 1 。”
戴浩文曰：“甚是詳盡。絕對值之理，於數軸之上，可明數之位置與距離，頗有用處。”
繼而再出一題：“若 | a + 1 | + | b - 2 | = 0 ，求 a 、 b 之值。”
眾學子交頭接耳，議論紛紛。一學子起身曰：“先生，絕對值皆為非負，二者之和為零，則 | a + 1 | = 0 且 | b - 2 | = 0 ，故 a 為 -1 ， b 為 2 。”
戴浩文撫須曰：“聰慧！此類題需明絕對值之非負性。”
時光漸逝，日已偏西，戴浩文曰：“今日所講絕對值之概念，爾等當反複溫習，多加思索。明日吾將再考汝等。”
眾學子行禮而退，皆心有所思。
次日，戴浩文複至講堂，先迴顧昨日所學，而後又出數題。
“若 | x - 3 | + | x + 2 | = 7 ，求 x 之值。”
學子們靜心思考，逐一演算。
一學子上前作答：“先生，當分三段討論。若 x 小於等於 -2 ，則 3 - x - x - 2 = 7 ，解得 x = -3 ；若 x 大於 -2 且小於 3 ，則 3 - x + x + 2 ≠ 7 ，無解；若 x 大於等於 3 ，則 x - 3 + x + 2 = 7 ，解得 x = 4 。”
戴浩文曰：“善。再看此題，若 | 2x - 1 | - | x + 3 | = 2 ，求 x 之範圍。”
眾學子分組探討，各抒己見。
一組代表起身言曰：“先生，亦當分段討論。若 x 小於等於 -3 ，則 1 - 2x + x + 3 = 2 ，解得 x = 2 ，不合條件；若 x 大於 -3 且小於 1 \/ 2 ，則 1 - 2x - x - 3 = 2 ，解得 x = -4 \/ 3 ；若 x 大於等於 1 \/ 2 ，則 2x - 1 - x - 3 = 2 ，解得 x = 6 。”
戴浩文點頭曰：“不錯。此類題需細心思量，莫漏解也。”
又出一題：“若關於 x 之方程 | 3x - 5 | = m 有解，求 m 之取值範圍。”
一學子應曰：“先生，因絕對值非負，故 m 大於等於零方程有解。”
戴浩文曰：“然也。再思此題，若關於 x 之不等式 | 2x + 1 | ＞ a 恆成立，求 a 之範圍。”
一生答曰：“先生，因 | 2x + 1 | 最小值為零，故 a 小於零不等式恆成立。”
戴浩文笑曰：“妙哉！汝等悟性頗高。”
如此數日，戴浩文以種種實例，令學子們對絕對值之概念與應用愈發精通。
或有一題：“已知 | x - 1 | + | y + 2 | = 0 ，且 2x + 3y + z = 10 ，求 z 之值。”
眾學子深思熟慮，終得答案。
戴浩文一一評點，使眾人皆有所獲。
又有：“若 | x - 2 | + | 2x - 1 | = 5 ，求 x 之值。”
學子們爭論不休，各執一詞，最終在戴浩文的引導下，得出正解。
光陰似箭，學子們於絕對值之研學中漸入佳境。
一日，戴浩文考校學子，見眾人應答如流，心甚慰之。
曰：“汝等學業有成，然不可驕矜，數學之道，廣袤無垠，當持之以恆，上下求索。”
眾學子躬身行禮，謹遵師訓。
自此，學子們懷絕對值之理，續探數學之奧秘。