第 202 章 二項式定理之實例深究
數日已過，戴浩文於講堂之上，再論二項式定理之妙處。其身著素袍，手持戒尺，目光炯炯，環視諸生。
言曰：“前番已授汝等二項式定理之要義，今當以實例詳析，以增汝等之領悟。”
遂於黑板書一題：“今有一商人，欲購貨物，其價依二項式(a + b)^n 而定，其中 a 為原價，b 為漲幅，n 為購貨之次數。若原價為十金，漲幅為三金，購貨三次，試求其總價幾何？”
諸生見此題，皆低頭沉思，奮筆疾算。
少頃，一生起身答曰：“先生，依二項式定理展開，可得總價為 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，代入數值，即為 10^3 + 3x10^2x3 + 3x10x3^2 + 3^3 = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197 金。”
戴浩文微微頷首，曰：“善。然此僅為其一例，再觀此題。”
又書一題：“某工匠製器，其成功率為(a + b)^n ，其中 a 為成功之概率，b 為失敗之概率，n 為製器之數。若成功概率為半，製器五次，求至少成功三次之概率。”
諸生聞此，交頭接耳，討論紛紛。
一聰慧之生言道：“先生，此當用二項式定理分別算出成功三次、四次、五次之概率，再相加可得。”
戴浩文笑曰：“然也。汝等速速計算。”
諸生遂埋頭苦算，良久，得數而出。
戴浩文曰：“善哉。今再看此例。”
複書一題：“一軍出征，其勝敗之數依二項式而定。若勝之概率為七成，出戰八次，求勝五次之概率及期望之勝數。”
諸生觀此題，難度更甚，然未有退縮之意，皆全力思索。
一學子率先算出：“先生，勝五次之概率為 c(8, 5)x0.7^5x0.3^3 ，期望之勝數為 8x0.7 = 5.6 。”
戴浩文撫須讚曰：“妙極！由此可見，二項式定理於此類問題之解決，功莫大焉。”
又道：“且看此題。古之農田，稻麥之收成因年而異，其豐收之率若以二項式表之。設初年均收為百石，豐年增率為二成，災年減率為一成，曆經十載，試算總收之數。”
眾學子絞盡腦汁，推演算式。
有一生答曰：“先生，依理展開計算，可得總收約為千五百石。”
戴浩文曰：“差強人意。當更細心思之。”
繼而再出一題：“昔有巧匠造樓，其進度依二項式行之。若初始每日建十丈，速增之率為半成，工期三十日，問終成之高幾何？”
諸生苦思冥想，終得答案。
戴浩文曰：“汝等可知，二項式定理於天文曆法、水利工程，亦多有用處。如測星辰之軌跡，算河水流速，皆可依此理推之。”
遂又舉例詳解，諸生如癡如醉，沉浸其中。
時近黃昏，課尚未盡。戴浩文曰：“今日所講，汝等課後當反複思索，多加練習。明日繼續。”
諸生皆行禮告退，心內滿是對二項式定理之新悟。
次日，戴浩文複至講堂，又出數例。
“有商隊行於途，其獲利之數若以二項式計。每程利為不定，設初利為五金，或增或減，經十程，求總利之可能範圍。”
學子們紛紛動筆，各抒己見。
一生言：“先生，當考慮各種增減之組合，算其極值可得範圍。”
戴浩文點頭稱是，繼續出題。
“某城人口增減，若以二項式度之。初有人口萬餘，年增或減之率既定，經五年，算其可能之人口數。”
諸生熱烈討論，互相比對答案。
戴浩文時而點撥，時而讚揚，課堂氣氛熱烈非凡。
“再觀此例。古之織造，布帛之產量若以二項式推之。機杼之數有限，工效有差，經月餘，求其總產量之概數。”
學子們漸入佳境，應答如流。
如此數日，戴浩文以種種實例，令學子們對二項式定理之運用愈發嫻熟。
或有一題：“園林之植木，其成長之況若依二項式。初苗之高已定，年增之高有別，曆數載，求其可成之材數。”
眾學子深思熟慮，答案各異，然皆有理有據。
戴浩文一一評點，使眾人皆有所獲。
又有：“工匠造器之精粗，以二項式測之。初質已定，工序增減其質，經數道，求其成品之優率。”
學子們爭論不休，各執一詞，最終在戴浩文的引導下，得出正解。
時光荏苒，學子們於二項式定理之實例探究中，功力日進。
一日，戴浩文集諸生於庭中，出一難題：“今有寶庫一座，藏珍若幹。開庫之匙密碼依二項式設之，已知其式之參數，試求開庫之法。”
眾學子圍坐，共同商討，曆經多時，終得解法。
戴浩文大笑曰：“汝等聰慧過人，已通此理。然學無止境，尚需砥礪前行。”
此後，學子們運用二項式定理，解決諸多難題，聲名遠播。
戴浩文之教誨，如明燈照亮學子前行之路，使其在數學之海洋中暢遊無阻。
數日已過，戴浩文於講堂之上，再論二項式定理之妙處。其身著素袍，手持戒尺，目光炯炯，環視諸生。
言曰：“前番已授汝等二項式定理之要義，今當以實例詳析，以增汝等之領悟。”
遂於黑板書一題：“今有一商人，欲購貨物，其價依二項式(a + b)^n 而定，其中 a 為原價，b 為漲幅，n 為購貨之次數。若原價為十金，漲幅為三金，購貨三次，試求其總價幾何？”
諸生見此題，皆低頭沉思，奮筆疾算。
少頃，一生起身答曰：“先生，依二項式定理展開，可得總價為 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，代入數值，即為 10^3 + 3x10^2x3 + 3x10x3^2 + 3^3 = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197 金。”
戴浩文微微頷首，曰：“善。然此僅為其一例，再觀此題。”
又書一題：“某工匠製器，其成功率為(a + b)^n ，其中 a 為成功之概率，b 為失敗之概率，n 為製器之數。若成功概率為半，製器五次，求至少成功三次之概率。”
諸生聞此，交頭接耳，討論紛紛。
一聰慧之生言道：“先生，此當用二項式定理分別算出成功三次、四次、五次之概率，再相加可得。”
戴浩文笑曰：“然也。汝等速速計算。”
諸生遂埋頭苦算，良久，得數而出。
戴浩文曰：“善哉。今再看此例。”
複書一題：“一軍出征，其勝敗之數依二項式而定。若勝之概率為七成，出戰八次，求勝五次之概率及期望之勝數。”
諸生觀此題，難度更甚，然未有退縮之意，皆全力思索。
一學子率先算出：“先生，勝五次之概率為 c(8, 5)x0.7^5x0.3^3 ，期望之勝數為 8x0.7 = 5.6 。”
戴浩文撫須讚曰：“妙極！由此可見，二項式定理於此類問題之解決，功莫大焉。”
又道：“且看此題。古之農田，稻麥之收成因年而異，其豐收之率若以二項式表之。設初年均收為百石，豐年增率為二成，災年減率為一成，曆經十載，試算總收之數。”
眾學子絞盡腦汁，推演算式。
有一生答曰：“先生，依理展開計算，可得總收約為千五百石。”
戴浩文曰：“差強人意。當更細心思之。”
繼而再出一題：“昔有巧匠造樓，其進度依二項式行之。若初始每日建十丈，速增之率為半成，工期三十日，問終成之高幾何？”
諸生苦思冥想，終得答案。
戴浩文曰：“汝等可知，二項式定理於天文曆法、水利工程，亦多有用處。如測星辰之軌跡，算河水流速，皆可依此理推之。”
遂又舉例詳解，諸生如癡如醉，沉浸其中。
時近黃昏，課尚未盡。戴浩文曰：“今日所講，汝等課後當反複思索，多加練習。明日繼續。”
諸生皆行禮告退，心內滿是對二項式定理之新悟。
次日，戴浩文複至講堂，又出數例。
“有商隊行於途，其獲利之數若以二項式計。每程利為不定，設初利為五金，或增或減，經十程，求總利之可能範圍。”
學子們紛紛動筆，各抒己見。
一生言：“先生，當考慮各種增減之組合，算其極值可得範圍。”
戴浩文點頭稱是，繼續出題。
“某城人口增減，若以二項式度之。初有人口萬餘，年增或減之率既定，經五年，算其可能之人口數。”
諸生熱烈討論，互相比對答案。
戴浩文時而點撥，時而讚揚，課堂氣氛熱烈非凡。
“再觀此例。古之織造，布帛之產量若以二項式推之。機杼之數有限，工效有差，經月餘，求其總產量之概數。”
學子們漸入佳境，應答如流。
如此數日，戴浩文以種種實例，令學子們對二項式定理之運用愈發嫻熟。
或有一題：“園林之植木，其成長之況若依二項式。初苗之高已定，年增之高有別，曆數載，求其可成之材數。”
眾學子深思熟慮，答案各異，然皆有理有據。
戴浩文一一評點，使眾人皆有所獲。
又有：“工匠造器之精粗，以二項式測之。初質已定，工序增減其質，經數道，求其成品之優率。”
學子們爭論不休，各執一詞，最終在戴浩文的引導下，得出正解。
時光荏苒，學子們於二項式定理之實例探究中，功力日進。
一日，戴浩文集諸生於庭中，出一難題：“今有寶庫一座，藏珍若幹。開庫之匙密碼依二項式設之，已知其式之參數，試求開庫之法。”
眾學子圍坐，共同商討，曆經多時，終得解法。
戴浩文大笑曰：“汝等聰慧過人，已通此理。然學無止境，尚需砥礪前行。”
此後，學子們運用二項式定理，解決諸多難題，聲名遠播。
戴浩文之教誨，如明燈照亮學子前行之路，使其在數學之海洋中暢遊無阻。