見過很多地方鋪的地磚，這些地磚都有一定的周期性。彭羅斯就研究過地磚的形狀和鋪設的效果。
周期性鋪陳方式是指你可以描出一個區域的輪廓，通過平移這個區域就可以鋪陳整個平麵，所謂平移就是在不通過旋轉或者翻轉的情況下移動這個區域的位置。
荷蘭藝術家埃舍爾因其繪畫中的數學性而聞名，作品多以平麵鑲嵌、不可能的結構、悖論、循環等為特點，從中可以看到分形、對稱、雙曲幾何、多麵體、拓撲學等數學概念的形象表達。
其中一對毗連的黑鳥和白鳥構成了一個平移鋪陳的基本區域。
隻有在鋪陳方式為周期性時，你才能在不通過旋轉的情況下將這張紙移動到一個新的位置，使得所有輪廓都再次恰好相符。
彭羅斯認為周期性的鋪陳當然好研究，那有沒有非周期性的鋪陳呢？
彭羅斯發現，用全同的等腰直角三角形或四邊形，很容易將國際象棋的棋盤轉換為一種非周期性鋪陳方式。
還有一種不同麵積大小，但長寬比例相等的長方形也可以非周期性的鋪陳。
這就帶有了螺旋形式了，那麽非周期鋪陳必須得是帶螺旋形式一類的鋪陳嗎？如果擺脫？
michael goldberg說：“你要是這樣想，那我也能把螺旋弄成都是相等的，最後還是周期的，隻是單個都是螺旋的擺了，每個螺旋的中心還是一個晶格點陣。哈哈。”
彭羅斯說：“那也能弄成很多螺旋的，大小不同的，非周期的，而且也能按照更大螺旋的那樣擺放。”
michael goldberg說：“你沒有擺脫周期和循環的這兩種排列方式，看似眼花繚亂，但是本質單一。精明的人還是可以一眼看出。”
彭羅斯說：“是否存在著一些隻能非周期性鋪陳的鑲嵌片集合？我們說“隻能”的意思是，無論是單一的形狀或子集，還是整個集合，都不能作周期性鋪陳，但是通使用它們全部，就有可能構成一種非周期性的鋪陳方式。其中允許進行旋轉和翻轉。”
在數十年間，專家們曾相信不存在這樣的組合，但是結果證明這種猜想不成立。
1961年，王浩說：“對於任意一組給定的骨牌，是否能以某種方式鋪陳而使得其相鄰邊都具有相同顏色，鋪陳時不允許旋轉和翻轉。”最後王浩發現王式鋪磚。
這個問題的重要性在於，它與符號邏輯中的決策問題有關。王浩推測，任意一組能夠鋪陳為平麵的鑲嵌片都能夠周期性地鋪陳為平麵；他還證明，如果事實確實如此的話，那麽就存在著一種這種鋪陳的決策方法。
1964年，伯傑（ robert berger）在哈佛大學應用數學專業博士學位論文中證明，王浩的推測不成立。
不存在任何普遍適用的方法，因此隻存在一組隻能非周期性鋪陳的王氏磚。
伯傑用兩萬多塊骨牌構造出了這樣一個組合。後來他發現了一個小得多的組合，它由104塊骨牌構成。
而高德納則將這個數字減小到92。
這樣的一組王氏磚很容易轉化為隻能非周期性鋪陳的多邊形鑲嵌片。你隻要將其邊緣做成凹凸形以構成一塊塊的拚圖，而它們以先前用顏色規定的方式相配。
一條先前某種顏色的邊隻能與另一條先前為同樣顏色的邊相配，並且對於其他各種顏色也能得出一種相同的關係。
羅賓遜（ raphael m. robinson）通過允許這樣的鑲嵌片旋轉和翻轉，構造出六片從上文所解釋的意義上來說強製產生非周期性鋪陳的鑲嵌片。
1977年安曼發現了另一組不同的六片鑲嵌片，它們也強製產生非周期性鋪陳。
這種正方形鑲嵌片是否能減少到六片以下尚未可知，不過我們有充分的理由相信六就是最小值了。
1973年，彭羅斯發現了一組六片強製產生非周期性鋪陳的鑲嵌片。
1974年，他發現了一種將它們減少為四片的方法。此後不久，他又將它們減少到兩片。
關於彭羅斯的宇宙，還存在某種更為令人驚奇的事情。從一種奇特的有限意義上來說，由於受到“局部同構定理”的製約，所有的影羅斯圖案都是相似的。彭羅斯證明：任何圖案中的每一個有限區域，都包含在所有其他圖案中的某處。此外，它在每種圖案中出現無窮多次。
為了理解這種情形有多麽狂，請想象你正居住在一個無限大平麵上，這個平麵由不可數的無窮多種彭羅斯鋪陳中的一種鑲嵌而成。你可以在這不斷擴張的麵積上一片一片地檢查你的圖案。無論你探索多大的麵積，你都無法確定自己是處在哪一種鋪陳方式上。去往遠處以及檢查不相連的區域都毫無幫助，因為所有這些區域都屬於一個大的、有限的區域，而這個區域在所有圖案中都被精確地複製了無窮多次。當然，對於任何周期性鑲嵌圖而言，這都是顯而易見的事實，然而彭羅斯宇宙並不是周期性的。它們有無窮多種方式使得彼此顯得不同，卻又隻能在觸不可及的極限上才能將它們彼此區分開來。
假設你已探究過一個直徑為d的圓形區域。我們把它稱為你所居住的“鎮”。突然之間，你被傳送到一個隨機選擇的平行的彭羅斯世界。你離一個與你家鄉的鎮裏的街道一模一樣的圓形區域有多遠？康韋用一條超凡卓越的定理給出了答案。從你家鄉的鎮的邊界到那個一模一樣的鎮的邊界的距離，絕不會超過黃金比例的立方的一半的d倍，或者說就是2.11+[譯者注：這裏的加號（+）表示（1.…）3=2.…]乘以d。（這是一個上限，而不是平均值。）如果你朝著正確的方向走，那麽你不需要超過這個距離，就會發現自己置身於你自己家鄉的鎮的精確複製品中。這條定理也適用於你身處的宇宙。每一種大的圓形圖案（有無窮多種不同的圖案）都可以朝某個方向走過一段距離而到達，這個距離必定小於這個圖案直徑的大約兩倍，更有可能大約就等於該直徑。
周期性鋪陳方式是指你可以描出一個區域的輪廓，通過平移這個區域就可以鋪陳整個平麵，所謂平移就是在不通過旋轉或者翻轉的情況下移動這個區域的位置。
荷蘭藝術家埃舍爾因其繪畫中的數學性而聞名，作品多以平麵鑲嵌、不可能的結構、悖論、循環等為特點，從中可以看到分形、對稱、雙曲幾何、多麵體、拓撲學等數學概念的形象表達。
其中一對毗連的黑鳥和白鳥構成了一個平移鋪陳的基本區域。
隻有在鋪陳方式為周期性時，你才能在不通過旋轉的情況下將這張紙移動到一個新的位置，使得所有輪廓都再次恰好相符。
彭羅斯認為周期性的鋪陳當然好研究，那有沒有非周期性的鋪陳呢？
彭羅斯發現，用全同的等腰直角三角形或四邊形，很容易將國際象棋的棋盤轉換為一種非周期性鋪陳方式。
還有一種不同麵積大小，但長寬比例相等的長方形也可以非周期性的鋪陳。
這就帶有了螺旋形式了，那麽非周期鋪陳必須得是帶螺旋形式一類的鋪陳嗎？如果擺脫？
michael goldberg說：“你要是這樣想，那我也能把螺旋弄成都是相等的，最後還是周期的，隻是單個都是螺旋的擺了，每個螺旋的中心還是一個晶格點陣。哈哈。”
彭羅斯說：“那也能弄成很多螺旋的，大小不同的，非周期的，而且也能按照更大螺旋的那樣擺放。”
michael goldberg說：“你沒有擺脫周期和循環的這兩種排列方式，看似眼花繚亂，但是本質單一。精明的人還是可以一眼看出。”
彭羅斯說：“是否存在著一些隻能非周期性鋪陳的鑲嵌片集合？我們說“隻能”的意思是，無論是單一的形狀或子集，還是整個集合，都不能作周期性鋪陳，但是通使用它們全部，就有可能構成一種非周期性的鋪陳方式。其中允許進行旋轉和翻轉。”
在數十年間，專家們曾相信不存在這樣的組合，但是結果證明這種猜想不成立。
1961年，王浩說：“對於任意一組給定的骨牌，是否能以某種方式鋪陳而使得其相鄰邊都具有相同顏色，鋪陳時不允許旋轉和翻轉。”最後王浩發現王式鋪磚。
這個問題的重要性在於，它與符號邏輯中的決策問題有關。王浩推測，任意一組能夠鋪陳為平麵的鑲嵌片都能夠周期性地鋪陳為平麵；他還證明，如果事實確實如此的話，那麽就存在著一種這種鋪陳的決策方法。
1964年，伯傑（ robert berger）在哈佛大學應用數學專業博士學位論文中證明，王浩的推測不成立。
不存在任何普遍適用的方法，因此隻存在一組隻能非周期性鋪陳的王氏磚。
伯傑用兩萬多塊骨牌構造出了這樣一個組合。後來他發現了一個小得多的組合，它由104塊骨牌構成。
而高德納則將這個數字減小到92。
這樣的一組王氏磚很容易轉化為隻能非周期性鋪陳的多邊形鑲嵌片。你隻要將其邊緣做成凹凸形以構成一塊塊的拚圖，而它們以先前用顏色規定的方式相配。
一條先前某種顏色的邊隻能與另一條先前為同樣顏色的邊相配，並且對於其他各種顏色也能得出一種相同的關係。
羅賓遜（ raphael m. robinson）通過允許這樣的鑲嵌片旋轉和翻轉，構造出六片從上文所解釋的意義上來說強製產生非周期性鋪陳的鑲嵌片。
1977年安曼發現了另一組不同的六片鑲嵌片，它們也強製產生非周期性鋪陳。
這種正方形鑲嵌片是否能減少到六片以下尚未可知，不過我們有充分的理由相信六就是最小值了。
1973年，彭羅斯發現了一組六片強製產生非周期性鋪陳的鑲嵌片。
1974年，他發現了一種將它們減少為四片的方法。此後不久，他又將它們減少到兩片。
關於彭羅斯的宇宙，還存在某種更為令人驚奇的事情。從一種奇特的有限意義上來說，由於受到“局部同構定理”的製約，所有的影羅斯圖案都是相似的。彭羅斯證明：任何圖案中的每一個有限區域，都包含在所有其他圖案中的某處。此外，它在每種圖案中出現無窮多次。
為了理解這種情形有多麽狂，請想象你正居住在一個無限大平麵上，這個平麵由不可數的無窮多種彭羅斯鋪陳中的一種鑲嵌而成。你可以在這不斷擴張的麵積上一片一片地檢查你的圖案。無論你探索多大的麵積，你都無法確定自己是處在哪一種鋪陳方式上。去往遠處以及檢查不相連的區域都毫無幫助，因為所有這些區域都屬於一個大的、有限的區域，而這個區域在所有圖案中都被精確地複製了無窮多次。當然，對於任何周期性鑲嵌圖而言，這都是顯而易見的事實，然而彭羅斯宇宙並不是周期性的。它們有無窮多種方式使得彼此顯得不同，卻又隻能在觸不可及的極限上才能將它們彼此區分開來。
假設你已探究過一個直徑為d的圓形區域。我們把它稱為你所居住的“鎮”。突然之間，你被傳送到一個隨機選擇的平行的彭羅斯世界。你離一個與你家鄉的鎮裏的街道一模一樣的圓形區域有多遠？康韋用一條超凡卓越的定理給出了答案。從你家鄉的鎮的邊界到那個一模一樣的鎮的邊界的距離，絕不會超過黃金比例的立方的一半的d倍，或者說就是2.11+[譯者注：這裏的加號（+）表示（1.…）3=2.…]乘以d。（這是一個上限，而不是平均值。）如果你朝著正確的方向走，那麽你不需要超過這個距離，就會發現自己置身於你自己家鄉的鎮的精確複製品中。這條定理也適用於你身處的宇宙。每一種大的圓形圖案（有無窮多種不同的圖案）都可以朝某個方向走過一段距離而到達，這個距離必定小於這個圖案直徑的大約兩倍，更有可能大約就等於該直徑。