cbi-yau也在數學中引發了一係列重大的進展，如超弦學家cands等人通過研究不同的cbi-yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發現的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與我以及givental獨立證明，它解決了代數幾何中遺留了上百年的舒伯特（schubert）計數問題。
大概在格林恩與普列瑟的論文發表一年後，鏡對稱的下一步發展攫取了數學社群的注目。
坎德拉斯、德拉歐薩（xenia de ossa）、保羅·葛林（paul green，馬裏蘭大學）、帕克斯（linda parks）四人證明了，鏡對稱可以幫忙解決一個代數幾何學與“枚舉幾何學”（enumerative geometry）中的難題，這是超過數十年未解的問題。
坎德拉斯團隊所研究的是五次三維形的問題，這個問題也稱為舒伯特問題，舒伯特（hermann schubert）是19世紀的德國數學家，他解決了這個難題的第一部分。
所謂舒伯特問題是計數在五次卡拉比—丘流形上“有理曲線”（rational curve）的數目，其中有理曲線是像球麵一樣，虧格為零或沒有洞的曲線（實二維曲麵）。
計數這些東西聽起來像是種古怪的消遣，但如果你是個枚舉幾何學家，那麽這就是你每天的主要工作。
不過這個工作絲毫不簡單，絕不像把罐子中的太妃糖倒到桌上數一數而已。
如何計數流形上的物件；如何為問題找到正確架構，使得計數所得到的值有用，百餘年來一直是數學家的挑戰。
舉例來說，如果想讓最後計數出來的數值是有限而不是無限的話，我們能計數的對象就必須是緊致空間，而不能像是平麵那樣的空間。
又例如要計數的是曲線的交點數，這時相切（輕觸彼此）的情形就會造成麻煩。
枚舉幾何學家發展了許多技術來處理這些情況，希望最終的結果是離散的數。
這類問題最早的例子出現於公元前200年左右，希臘數學家阿波羅尼斯（apollonius of perga）曾經提問說：“給定三個圓，有多少圓可以同時和這三個圓相切？”這個問題的一般答案是八，並且可以用直尺與圓規來解答。
但是要解決舒伯特問題，則需要更精密的計算技巧。
數學家處理這個難題的方式是逐步處理，每一步隻處理一個固定的“次數”（degree）。
這裏所謂次數，指的是描述曲線的多項式中各項的最高次數。
例如4x2-5y3是三次多項式，6x3y2+4x是五次（x和y的次數要加起來），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等於零（2x+3y-4=0），就可以定義一條線。
因此這個問題是先取出五次三維形，指定有理曲線的次數，然後問說有多少這樣的曲線。
舒伯特解出了次數是一的情況，他證明五次三維形有2875條線。
大概一個世紀之後的1986年，現在任職於伊利諾斯大學的卡茲（sheldon katz）解出二次的情況，二次有理曲線數等於。
坎德拉斯、德拉歐薩、葛林、帕克斯解決的是三次的情形。不過他們的解法運用了鏡對稱的想法，因為想要直接在五次卡拉比—丘流形上解這個問題極端困難，但格林恩與普列瑟所構造的鏡伴流形，提供了容易得多的解題框架。
事實上，在格林恩與普列瑟關於鏡對稱的原來論文中，就已經指出這個基本的思路。他們說明湯川耦合這個物理量，可以用兩種差異很大的數學公式來表示，一種來自原來的流形，另一種來自鏡流形。一個公式牽涉流形中不同次數的有理曲線數，根據格林恩的說法，計算起來絕對是很“恐怖”的事情；另一個公式則牽涉流形的形狀，相較起來要簡單得多。然而因為這一對鏡流形描述的是相同的物理性質，因此結果必須相等。這就像“狗”和“犬”兩字看起來不同，描述的卻是同一種覆毛的動物。格林恩與普列瑟的論文中有一個方程式，明確說明這兩組看起來長相各異的公式其實是相等的。格林恩說：“你可以有一個抽象上已知正確的公式，但是想把方程式計算到適當的精確度以得出數值，卻是很大的挑戰。我們有方程式，卻沒有從它提煉出數值的工具。而坎德拉斯和他的合作者發明出這項工具，這是很大的成就，對幾何學也有很大的影響。”
19世紀幾何學的重要結果之一是凱利（arthur cayley）與賽爾曼（george salmon）的研究，它們證明在所謂的“三次曲麵”上共有27條直線。舒伯特後來推廣了這個凱利—賽爾曼定理。（
這個想法闡明了鏡對稱的潛力。我們或許不需要再去煩惱卡拉比—丘空間中曲線數量的計數，因為另外有一種和計數這種苦差事比起來很不一樣的計算方式，也可以獲得相同的答案。坎德拉斯團隊運用這個想法，計算了五次三維形中三次有理曲線的數目，結果答案是。
計數這些有理曲線的目的，並不僅止於該數值，而是放眼於整個流形的結構。因為在計數的同時，基本上我們是以成熟的數學技巧在移動這些曲線，直到過程涵蓋整個空間。在這樣的過程中，我們其實是利用這些曲線來定義這個空間，不管它是五次三維形或其他空間都適用。
計數曲麵上的直線或曲線數，是代數幾何學與枚舉幾何學中的常見問題。想知道曲麵上的直線的樣子，可看看圖中這個雙直紋雙曲麵，它是由一係列的直線所完全構成的，而它之所以稱為雙直紋，是因為曲麵上每一點都有兩條直線通過。不過對於枚舉幾何學來說，這樣的曲麵並不是好例子，因為上麵的直線數是無窮多。
這些結果的整體效果，讓一個垂死的幾何學分支乍然蘇醒。根據美國加州大學聖地亞哥分校的數學家馬克·格羅斯（mark gross）的看法，坎德拉斯團隊領先運用鏡對稱的想法，解決了這個枚舉幾何學的難題，導致整個領域獲得重生。“當時這個領域基本上已經死了，”格羅斯說，“當舊問題解決之後，人們有時迴頭用數學的新技術來計算舒伯特數，但是這些方法並無新意。”然後完全出乎意料的，“坎德拉斯帶來了新方法，是遠遠超出舒伯特所能想象的方法。”物理學家曾經迫切地從數學借用許多材料，然而當數學家倒過來要跟物理借用資源時，他們卻要求先看到坎德拉斯方法嚴格性的更多證明。
大概在格林恩與普列瑟的論文發表一年後，鏡對稱的下一步發展攫取了數學社群的注目。
坎德拉斯、德拉歐薩（xenia de ossa）、保羅·葛林（paul green，馬裏蘭大學）、帕克斯（linda parks）四人證明了，鏡對稱可以幫忙解決一個代數幾何學與“枚舉幾何學”（enumerative geometry）中的難題，這是超過數十年未解的問題。
坎德拉斯團隊所研究的是五次三維形的問題，這個問題也稱為舒伯特問題，舒伯特（hermann schubert）是19世紀的德國數學家，他解決了這個難題的第一部分。
所謂舒伯特問題是計數在五次卡拉比—丘流形上“有理曲線”（rational curve）的數目，其中有理曲線是像球麵一樣，虧格為零或沒有洞的曲線（實二維曲麵）。
計數這些東西聽起來像是種古怪的消遣，但如果你是個枚舉幾何學家，那麽這就是你每天的主要工作。
不過這個工作絲毫不簡單，絕不像把罐子中的太妃糖倒到桌上數一數而已。
如何計數流形上的物件；如何為問題找到正確架構，使得計數所得到的值有用，百餘年來一直是數學家的挑戰。
舉例來說，如果想讓最後計數出來的數值是有限而不是無限的話，我們能計數的對象就必須是緊致空間，而不能像是平麵那樣的空間。
又例如要計數的是曲線的交點數，這時相切（輕觸彼此）的情形就會造成麻煩。
枚舉幾何學家發展了許多技術來處理這些情況，希望最終的結果是離散的數。
這類問題最早的例子出現於公元前200年左右，希臘數學家阿波羅尼斯（apollonius of perga）曾經提問說：“給定三個圓，有多少圓可以同時和這三個圓相切？”這個問題的一般答案是八，並且可以用直尺與圓規來解答。
但是要解決舒伯特問題，則需要更精密的計算技巧。
數學家處理這個難題的方式是逐步處理，每一步隻處理一個固定的“次數”（degree）。
這裏所謂次數，指的是描述曲線的多項式中各項的最高次數。
例如4x2-5y3是三次多項式，6x3y2+4x是五次（x和y的次數要加起來），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等於零（2x+3y-4=0），就可以定義一條線。
因此這個問題是先取出五次三維形，指定有理曲線的次數，然後問說有多少這樣的曲線。
舒伯特解出了次數是一的情況，他證明五次三維形有2875條線。
大概一個世紀之後的1986年，現在任職於伊利諾斯大學的卡茲（sheldon katz）解出二次的情況，二次有理曲線數等於。
坎德拉斯、德拉歐薩、葛林、帕克斯解決的是三次的情形。不過他們的解法運用了鏡對稱的想法，因為想要直接在五次卡拉比—丘流形上解這個問題極端困難，但格林恩與普列瑟所構造的鏡伴流形，提供了容易得多的解題框架。
事實上，在格林恩與普列瑟關於鏡對稱的原來論文中，就已經指出這個基本的思路。他們說明湯川耦合這個物理量，可以用兩種差異很大的數學公式來表示，一種來自原來的流形，另一種來自鏡流形。一個公式牽涉流形中不同次數的有理曲線數，根據格林恩的說法，計算起來絕對是很“恐怖”的事情；另一個公式則牽涉流形的形狀，相較起來要簡單得多。然而因為這一對鏡流形描述的是相同的物理性質，因此結果必須相等。這就像“狗”和“犬”兩字看起來不同，描述的卻是同一種覆毛的動物。格林恩與普列瑟的論文中有一個方程式，明確說明這兩組看起來長相各異的公式其實是相等的。格林恩說：“你可以有一個抽象上已知正確的公式，但是想把方程式計算到適當的精確度以得出數值，卻是很大的挑戰。我們有方程式，卻沒有從它提煉出數值的工具。而坎德拉斯和他的合作者發明出這項工具，這是很大的成就，對幾何學也有很大的影響。”
19世紀幾何學的重要結果之一是凱利（arthur cayley）與賽爾曼（george salmon）的研究，它們證明在所謂的“三次曲麵”上共有27條直線。舒伯特後來推廣了這個凱利—賽爾曼定理。（
這個想法闡明了鏡對稱的潛力。我們或許不需要再去煩惱卡拉比—丘空間中曲線數量的計數，因為另外有一種和計數這種苦差事比起來很不一樣的計算方式，也可以獲得相同的答案。坎德拉斯團隊運用這個想法，計算了五次三維形中三次有理曲線的數目，結果答案是。
計數這些有理曲線的目的，並不僅止於該數值，而是放眼於整個流形的結構。因為在計數的同時，基本上我們是以成熟的數學技巧在移動這些曲線，直到過程涵蓋整個空間。在這樣的過程中，我們其實是利用這些曲線來定義這個空間，不管它是五次三維形或其他空間都適用。
計數曲麵上的直線或曲線數，是代數幾何學與枚舉幾何學中的常見問題。想知道曲麵上的直線的樣子，可看看圖中這個雙直紋雙曲麵，它是由一係列的直線所完全構成的，而它之所以稱為雙直紋，是因為曲麵上每一點都有兩條直線通過。不過對於枚舉幾何學來說，這樣的曲麵並不是好例子，因為上麵的直線數是無窮多。
這些結果的整體效果，讓一個垂死的幾何學分支乍然蘇醒。根據美國加州大學聖地亞哥分校的數學家馬克·格羅斯（mark gross）的看法，坎德拉斯團隊領先運用鏡對稱的想法，解決了這個枚舉幾何學的難題，導致整個領域獲得重生。“當時這個領域基本上已經死了，”格羅斯說，“當舊問題解決之後，人們有時迴頭用數學的新技術來計算舒伯特數，但是這些方法並無新意。”然後完全出乎意料的，“坎德拉斯帶來了新方法，是遠遠超出舒伯特所能想象的方法。”物理學家曾經迫切地從數學借用許多材料，然而當數學家倒過來要跟物理借用資源時，他們卻要求先看到坎德拉斯方法嚴格性的更多證明。