“上同調群”是討論流形閉鏈（可以想成高維的閉圈）以及它們彼此相交的理論，閉鏈與流形之中沒有邊界的子流形有關。
想理解子流形的意思，可以想象一個切成球狀的瑞士起司，整個球狀的起司塊可以想成一個三維空間，而它的內部則可能有上百個洞孔，這些洞的壁麵就是子流形，某些可以從外包覆，有些可以用橡皮筋在裏麵繞一圈。
子流形是有精確形狀和大小的幾何形體，但對物理學家來說，閉鏈則是一種基於拓撲考慮，不需要那麽明確定義的物件，大部分幾何學家將閉鏈視為廣義的子流形。
雖然如此，我們可以將閉鏈想成類似繞甜甜圈一圈的閉圈，借以得到流形的拓撲信息。
物理學家有一套方法，為給定的流形指定一個量子場論。
流形通常有無窮多個閉鏈，物理學家用一種逼近法將閉鏈數降到有限個、因此也比較容易處理的值。
這樣的過程稱為“量子化”（quantization），將本來有無窮多可能的設定變成隻有幾個容許值（就好像廣播電台的頻率）。
這個過程必須對原來的方程式做量子修正，又因為這是一組關於閉鏈的方程，因此是關於上同調群的方程，所以我才為它取名為量子上同調群。
不過做量子修正的方法並不是隻有一種，幸好有鏡對稱，對於給定的卡拉比—丘流形，可以得到與它物理性質相同的鏡伴流形。
這個鏡伴流形有兩種描述方式，來自兩個看起來很不同但基本上等價的弦論版本：2a理論和2b理論，它們所描述的量子場論是相同的。
在b模型時，做量子修正的計算相對簡單，而且量子修正為零；而a模型實質上是不可能計算的，量子修正也不是零。
德拉姆發現了一種上同調結構。
這是結合了代數拓撲和微分拓撲的工具。
代數拓撲本是用群論來研究拓撲空間的。
微分拓撲是研究微分流形和可以微分映射的數學分支。
德拉姆把它們結合後，找到了能適合計算和用具體上同調類的方法表達關於光滑流形的基本拓撲信息。
霍奇得知之後，就想用這種工具研究光滑流形，光滑就是這個流形是處處可以微分的。
霍奇主要就是研究光滑流形m的實數上同調群在m上的黎曼度量，使用的工具就是很多個拉普拉斯算子和偏微分算子。
這兩種算子也就是可以反映光滑流形的表麵和內裏的形狀變化的。
這就是霍奇理論，到1941年的霍奇理論由魏爾（weyl）和小平邦彥（kodaira）整理完成。
想理解子流形的意思，可以想象一個切成球狀的瑞士起司，整個球狀的起司塊可以想成一個三維空間，而它的內部則可能有上百個洞孔，這些洞的壁麵就是子流形，某些可以從外包覆，有些可以用橡皮筋在裏麵繞一圈。
子流形是有精確形狀和大小的幾何形體，但對物理學家來說，閉鏈則是一種基於拓撲考慮，不需要那麽明確定義的物件，大部分幾何學家將閉鏈視為廣義的子流形。
雖然如此，我們可以將閉鏈想成類似繞甜甜圈一圈的閉圈，借以得到流形的拓撲信息。
物理學家有一套方法，為給定的流形指定一個量子場論。
流形通常有無窮多個閉鏈，物理學家用一種逼近法將閉鏈數降到有限個、因此也比較容易處理的值。
這樣的過程稱為“量子化”（quantization），將本來有無窮多可能的設定變成隻有幾個容許值（就好像廣播電台的頻率）。
這個過程必須對原來的方程式做量子修正，又因為這是一組關於閉鏈的方程，因此是關於上同調群的方程，所以我才為它取名為量子上同調群。
不過做量子修正的方法並不是隻有一種，幸好有鏡對稱，對於給定的卡拉比—丘流形，可以得到與它物理性質相同的鏡伴流形。
這個鏡伴流形有兩種描述方式，來自兩個看起來很不同但基本上等價的弦論版本：2a理論和2b理論，它們所描述的量子場論是相同的。
在b模型時，做量子修正的計算相對簡單，而且量子修正為零；而a模型實質上是不可能計算的，量子修正也不是零。
德拉姆發現了一種上同調結構。
這是結合了代數拓撲和微分拓撲的工具。
代數拓撲本是用群論來研究拓撲空間的。
微分拓撲是研究微分流形和可以微分映射的數學分支。
德拉姆把它們結合後，找到了能適合計算和用具體上同調類的方法表達關於光滑流形的基本拓撲信息。
霍奇得知之後，就想用這種工具研究光滑流形，光滑就是這個流形是處處可以微分的。
霍奇主要就是研究光滑流形m的實數上同調群在m上的黎曼度量，使用的工具就是很多個拉普拉斯算子和偏微分算子。
這兩種算子也就是可以反映光滑流形的表麵和內裏的形狀變化的。
這就是霍奇理論，到1941年的霍奇理論由魏爾（weyl）和小平邦彥（kodaira）整理完成。