柯爾莫哥洛夫將概率論做了根本性的修正。他所使用的是一種由法國傳入的名為測度論。
測度論將長度、麵積、體積等概念泛化，使得無法被常規方法測量的數學對象可能被測量。例如，一個有無限多個孔的正方形，被切割成了無窮多份並散落在了無限的平麵中，借助測度論我們仍然可以表示出這個七零八碎的物體的“麵積”（測度）。
1933年，柯爾莫哥洛夫的專著《概率論的基礎》出版，書中第一次在測度論基礎上建立了概率論的嚴密公理體係。
學生格涅堅科看到了柯爾莫哥洛夫的概率公理體係，一共就三條。
1.一個事件的概率大於等於零。
2.至少一種可能的結果發生的概率為1。
3.如果兩事件不可能同時發生，那麽這兩個事件其中有一個發生的概率等於各個事件發生的概率之和。
格涅堅科說：“老師，為什麽要弄這三條公理？起來很簡單呀，有什麽了不起的？”
柯爾莫哥洛夫說：“概率論作為數學學科，可以而且應該從公理開始建設，和幾何、代數的路一樣。”
格涅堅科說：“我想知道，你這裏有什麽特殊的改變？”
柯爾莫哥洛夫說：“我引入了概率測度。”
格涅堅科說：“測度代表的是研究集合的“大小”和“麵積”的，怎麽用在概率中的？”
柯爾莫哥洛夫說：“我的這三個公理規定了有界性、規範性和有限可加性，分別跟三個公理的第一二三條對應。因為現代的數學都是以集合論為基礎的，所以概率也需要用集合論的語言來描述。”
大圓悖論（the paradox of the great circle）就是通過柯爾莫哥洛夫的概率論得以解決的。大圓悖論是說，假設有外星人會隨機降落到一個完美的球形星球上，且降落到每個點的概率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平麵和球麵的交線，把球體分成了兩個相等的半球）上的降落概率都是一樣的呢？
其結果是，對於赤道所在的大圓而言，圓上每個點的概率是均等的。而對於經線來說，靠近赤道的點概率大，靠近兩極的點概率小。
這一發現或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。
但是，這種結果與我們的直覺相違背，因為對於一個完美的球體而言，通過旋轉，赤道可以變成任意一條經線。
柯爾莫哥洛夫認為，大圓是一條線段，麵積是零，因此測度為零。這一悖論的矛盾之處就在於我們無法嚴格計算相關的概率。
測度論將長度、麵積、體積等概念泛化，使得無法被常規方法測量的數學對象可能被測量。例如，一個有無限多個孔的正方形，被切割成了無窮多份並散落在了無限的平麵中，借助測度論我們仍然可以表示出這個七零八碎的物體的“麵積”（測度）。
1933年，柯爾莫哥洛夫的專著《概率論的基礎》出版，書中第一次在測度論基礎上建立了概率論的嚴密公理體係。
學生格涅堅科看到了柯爾莫哥洛夫的概率公理體係，一共就三條。
1.一個事件的概率大於等於零。
2.至少一種可能的結果發生的概率為1。
3.如果兩事件不可能同時發生，那麽這兩個事件其中有一個發生的概率等於各個事件發生的概率之和。
格涅堅科說：“老師，為什麽要弄這三條公理？起來很簡單呀，有什麽了不起的？”
柯爾莫哥洛夫說：“概率論作為數學學科，可以而且應該從公理開始建設，和幾何、代數的路一樣。”
格涅堅科說：“我想知道，你這裏有什麽特殊的改變？”
柯爾莫哥洛夫說：“我引入了概率測度。”
格涅堅科說：“測度代表的是研究集合的“大小”和“麵積”的，怎麽用在概率中的？”
柯爾莫哥洛夫說：“我的這三個公理規定了有界性、規範性和有限可加性，分別跟三個公理的第一二三條對應。因為現代的數學都是以集合論為基礎的，所以概率也需要用集合論的語言來描述。”
大圓悖論（the paradox of the great circle）就是通過柯爾莫哥洛夫的概率論得以解決的。大圓悖論是說，假設有外星人會隨機降落到一個完美的球形星球上，且降落到每個點的概率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平麵和球麵的交線，把球體分成了兩個相等的半球）上的降落概率都是一樣的呢？
其結果是，對於赤道所在的大圓而言，圓上每個點的概率是均等的。而對於經線來說，靠近赤道的點概率大，靠近兩極的點概率小。
這一發現或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。
但是，這種結果與我們的直覺相違背，因為對於一個完美的球體而言，通過旋轉，赤道可以變成任意一條經線。
柯爾莫哥洛夫認為，大圓是一條線段，麵積是零，因此測度為零。這一悖論的矛盾之處就在於我們無法嚴格計算相關的概率。