【第十迴】
割圓不盡十指磨出血
周率可限青史標美名
——圓周率是怎樣算出來的
卻說那次祖衝之在戴法興的壽宴上測報月食，得罪了這個權臣，自覺在京城不好存身了，便應邀到南徐州（今江蘇鎮江）做了刺史劉延孫的助手。好在這個職務比較清閑，他便把大部分時間繼續用來研究天文曆法。積三年之辛苦，於大明六年（462年）他終於搞出一部比較科學的《大明曆》，呈獻給孝武帝，請求頒用。不想那個戴法興從中作梗，不但新曆法不能頒行，到大明八年，就連他刺史助理的官職也被革去了。
祖衝之賦閑在家，心裏鬱憤難平，他深感當時的世道要幹成一件事實在難。可他想自己才36歲，難道此生就這樣一事無成？於是就想搞點與政界牽涉不大的事——研究數學。他先為古代數學名著《九章算術》作了注。《九章算術》成書於公元四五十年間，集我國古代數學之大成，曆代有不少人曾為它作注，但都碰到一個難題：那就是圓周率（現在叫π，它是圓周和直徑之比）。很古時候，人稱“徑一周三”，即π=3。王莽新朝時精確到3.1547，東漢時張衡又精確到3.1466，三國時劉徽為《九章算術》作注，則認為最精確的應是3.14。400多年來眾說不一。
祖衝之一接觸到圓周率問題，便被困擾得坐臥不安。他的住所裏，雪白的粉牆上畫了一個大大的圓圈，地上也是大圈套著小圈，桌上到處是紛亂的紙。他背著手在房間裏踱來踱去，一會兒好像自己走進了牆上那個大圓圈中，一會兒又好像桌上那一堆圓圈一齊湧進自己的腦子裏，如亂麻一團。哎，這周徑之比到底是如何得出的呢？他又迴到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術》坐下來邊讀邊想。
這時屋裏還有一個十三四歲的男孩，他是祖衝之的兒子，叫祖暅（gèng）。別看他小小年紀，卻天資聰穎，戲耍之餘常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈感到很新鮮，便單腿在地上跳起圈來。突然聽到父親拍案喊道：“有了！”將他嚇了一跳，忙跑過去拉著父親的衣袖問道：“什麽有了？”
“辦法有了。暅兒，你看劉徽這裏不是明明寫著割圓術嗎？隻要將一個圈內接上正多邊形。不斷地割下去，求出多邊形的周長，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會嗎？”
“我會，用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。”
“道理簡單，算起來可就費勁了。從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細啊。”
說完，祖衝之到院裏搬來幾根大竹子，操起一把刀破成細條，又一一斬成短截，整整幹了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪，搞計算怎麽先幹起竹木活來？原來，當時既沒有阿拉伯數字可以筆算，當然更沒有現在的計算機，運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來拚擺成各種數字。擺數字分縱橫兩式，一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。擺數時，一般自左而右第一、三、五位用縱式，二、四、六位用橫式。例如，2398的擺法是 （首位用橫式的也有，但少見）。今天遇到這麽大的算題，平時的那些算籌哪裏夠用？
再說，祖衝之將這一切準備停當之後，便在地上畫了一個直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然後再依次內接12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。你想這祖衝之何等聰明，他知道求圓周率要用直徑除以正多邊形的周長，所以他把直徑的長定為長度單位，比如說是一丈，計算多邊形周長時也以丈為單位，就可以避免每次的除法運算，每個多邊形周長的量數即是圓周率一個近似值，這樣一次次求多邊形的周長便一次次逼近圓周率了。祖暅也在那個大圓圈裏跳進跳出地幫他拿算籌，記數字。就這樣直算得月落烏啼，直算得雞鳴日升，那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，又滿地轉著圈子，一屋上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒有來得及打磨，祖衝之用手捏著、想著、擺著，不消幾日，漸漸指頭都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。
正是：
公式定理雖無聲，原來卻是血凝成。
莫言數字最枯燥，多少前人拚搏情。
他們父子這樣不分晝夜地割著算著。這天，他們割到第四次，圓周已被分為96份，真是如攀險峰，愈登愈難。當年劉徽就是到此止步，而將得到的3.14定為最佳數據。夜靜更深，小祖暅早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖衝之想，這些日子也實在辛苦了這孩子，便忙打發他去睡覺。他推開窗戶，深吸了幾口這建康城裏夜深時分甜甜的空氣，看了一會兒星空，又轉過身來看著地上那個大圓。那內接的96邊形，與圓都快接近於重合了。按說能算到這一步已經實在不易，用這個數字再去為《九章算術》作注，也就完全可以了。他用拳頭捶了捶酸乏的後腰，又摸摸纏著布條的手指，向牆邊的書架踱去，忽然背後刷拉拉一陣響聲。他猛一迴頭，哎呀！原來剛才未關窗戶，一陣夜風吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋撒一地。這式子剛擺完還沒有來得及驗算，也未抄下得數，要知每算一遍就要進行11次加減乘除和開方，多麽繁重的勞動啊！祖衝之一下撲在地上，用還滲著血的十指捧起一掬算籌，對著沉寂的夜空，低聲喊道：“老天啊！你也和戴法興一樣，如此欺人。”他一甩衣袖，索性將桌上的殘式全部拂去，又重新擺布起來。
就這樣不知又過了多少天，隻知花開花落，月缺月圓，父子倆把地上那個大圓直割到24576份，這時的圓周率已經精確到了3.14159261。祖衝之知道這樣不斷割下去，內接多邊形的周長還會增加，更接近於圓周，但這已到了小數點後第8位，再增加也不會超過0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。當時祖衝之就把圓周率定在這“上下二限”之間。這上下限的提法確是祖衝之首創，他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先，直到一千年後才有阿拉伯數學家阿爾·卡西的計算超過了他，所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”，這都是後話。
還說當時，經過無數個日夜奮戰，圖形遍地，算籌成堆，祖衝之終於算出了新的圓周率。這天他興致極好，便帶著兒子祖暅出了都城，到郊外一座小山上的寺院裏吃酒、訪友、散散心。他邊走邊說：“暅兒，這圓周率在天文、曆算、測地、繪圖上處處都要用到，前麵的幾位數字你可要牢牢記熟。”小祖暅手裏拿著一枝野花，揚起稚氣的圓臉，往山上一指，說：“好記，好記！‘山巔一寺一壺酒’（3.14159）。爸爸今日心情甚好，可以開懷暢飲了。”祖衝之不禁仰天大笑，一來這些日子的辛苦總算有了個結果，二來小暅兒如此聰明，不怕事業後繼無人。那祖暅後來真的成了我國曆史上有名的數學家。
祖暅的那句玩笑還真的又引出了一段故事。且待下迴分解。
割圓不盡十指磨出血
周率可限青史標美名
——圓周率是怎樣算出來的
卻說那次祖衝之在戴法興的壽宴上測報月食，得罪了這個權臣，自覺在京城不好存身了，便應邀到南徐州（今江蘇鎮江）做了刺史劉延孫的助手。好在這個職務比較清閑，他便把大部分時間繼續用來研究天文曆法。積三年之辛苦，於大明六年（462年）他終於搞出一部比較科學的《大明曆》，呈獻給孝武帝，請求頒用。不想那個戴法興從中作梗，不但新曆法不能頒行，到大明八年，就連他刺史助理的官職也被革去了。
祖衝之賦閑在家，心裏鬱憤難平，他深感當時的世道要幹成一件事實在難。可他想自己才36歲，難道此生就這樣一事無成？於是就想搞點與政界牽涉不大的事——研究數學。他先為古代數學名著《九章算術》作了注。《九章算術》成書於公元四五十年間，集我國古代數學之大成，曆代有不少人曾為它作注，但都碰到一個難題：那就是圓周率（現在叫π，它是圓周和直徑之比）。很古時候，人稱“徑一周三”，即π=3。王莽新朝時精確到3.1547，東漢時張衡又精確到3.1466，三國時劉徽為《九章算術》作注，則認為最精確的應是3.14。400多年來眾說不一。
祖衝之一接觸到圓周率問題，便被困擾得坐臥不安。他的住所裏，雪白的粉牆上畫了一個大大的圓圈，地上也是大圈套著小圈，桌上到處是紛亂的紙。他背著手在房間裏踱來踱去，一會兒好像自己走進了牆上那個大圓圈中，一會兒又好像桌上那一堆圓圈一齊湧進自己的腦子裏，如亂麻一團。哎，這周徑之比到底是如何得出的呢？他又迴到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術》坐下來邊讀邊想。
這時屋裏還有一個十三四歲的男孩，他是祖衝之的兒子，叫祖暅（gèng）。別看他小小年紀，卻天資聰穎，戲耍之餘常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈感到很新鮮，便單腿在地上跳起圈來。突然聽到父親拍案喊道：“有了！”將他嚇了一跳，忙跑過去拉著父親的衣袖問道：“什麽有了？”
“辦法有了。暅兒，你看劉徽這裏不是明明寫著割圓術嗎？隻要將一個圈內接上正多邊形。不斷地割下去，求出多邊形的周長，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會嗎？”
“我會，用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。”
“道理簡單，算起來可就費勁了。從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細啊。”
說完，祖衝之到院裏搬來幾根大竹子，操起一把刀破成細條，又一一斬成短截，整整幹了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪，搞計算怎麽先幹起竹木活來？原來，當時既沒有阿拉伯數字可以筆算，當然更沒有現在的計算機，運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來拚擺成各種數字。擺數字分縱橫兩式，一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。擺數時，一般自左而右第一、三、五位用縱式，二、四、六位用橫式。例如，2398的擺法是 （首位用橫式的也有，但少見）。今天遇到這麽大的算題，平時的那些算籌哪裏夠用？
再說，祖衝之將這一切準備停當之後，便在地上畫了一個直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然後再依次內接12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。你想這祖衝之何等聰明，他知道求圓周率要用直徑除以正多邊形的周長，所以他把直徑的長定為長度單位，比如說是一丈，計算多邊形周長時也以丈為單位，就可以避免每次的除法運算，每個多邊形周長的量數即是圓周率一個近似值，這樣一次次求多邊形的周長便一次次逼近圓周率了。祖暅也在那個大圓圈裏跳進跳出地幫他拿算籌，記數字。就這樣直算得月落烏啼，直算得雞鳴日升，那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，又滿地轉著圈子，一屋上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒有來得及打磨，祖衝之用手捏著、想著、擺著，不消幾日，漸漸指頭都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。
正是：
公式定理雖無聲，原來卻是血凝成。
莫言數字最枯燥，多少前人拚搏情。
他們父子這樣不分晝夜地割著算著。這天，他們割到第四次，圓周已被分為96份，真是如攀險峰，愈登愈難。當年劉徽就是到此止步，而將得到的3.14定為最佳數據。夜靜更深，小祖暅早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖衝之想，這些日子也實在辛苦了這孩子，便忙打發他去睡覺。他推開窗戶，深吸了幾口這建康城裏夜深時分甜甜的空氣，看了一會兒星空，又轉過身來看著地上那個大圓。那內接的96邊形，與圓都快接近於重合了。按說能算到這一步已經實在不易，用這個數字再去為《九章算術》作注，也就完全可以了。他用拳頭捶了捶酸乏的後腰，又摸摸纏著布條的手指，向牆邊的書架踱去，忽然背後刷拉拉一陣響聲。他猛一迴頭，哎呀！原來剛才未關窗戶，一陣夜風吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋撒一地。這式子剛擺完還沒有來得及驗算，也未抄下得數，要知每算一遍就要進行11次加減乘除和開方，多麽繁重的勞動啊！祖衝之一下撲在地上，用還滲著血的十指捧起一掬算籌，對著沉寂的夜空，低聲喊道：“老天啊！你也和戴法興一樣，如此欺人。”他一甩衣袖，索性將桌上的殘式全部拂去，又重新擺布起來。
就這樣不知又過了多少天，隻知花開花落，月缺月圓，父子倆把地上那個大圓直割到24576份，這時的圓周率已經精確到了3.14159261。祖衝之知道這樣不斷割下去，內接多邊形的周長還會增加，更接近於圓周，但這已到了小數點後第8位，再增加也不會超過0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。當時祖衝之就把圓周率定在這“上下二限”之間。這上下限的提法確是祖衝之首創，他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先，直到一千年後才有阿拉伯數學家阿爾·卡西的計算超過了他，所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”，這都是後話。
還說當時，經過無數個日夜奮戰，圖形遍地，算籌成堆，祖衝之終於算出了新的圓周率。這天他興致極好，便帶著兒子祖暅出了都城，到郊外一座小山上的寺院裏吃酒、訪友、散散心。他邊走邊說：“暅兒，這圓周率在天文、曆算、測地、繪圖上處處都要用到，前麵的幾位數字你可要牢牢記熟。”小祖暅手裏拿著一枝野花，揚起稚氣的圓臉，往山上一指，說：“好記，好記！‘山巔一寺一壺酒’（3.14159）。爸爸今日心情甚好，可以開懷暢飲了。”祖衝之不禁仰天大笑，一來這些日子的辛苦總算有了個結果，二來小暅兒如此聰明，不怕事業後繼無人。那祖暅後來真的成了我國曆史上有名的數學家。
祖暅的那句玩笑還真的又引出了一段故事。且待下迴分解。