為什麽不做愛了：從博弈論開始的分析
在美國人的臥室裏究竟發生了什麽？沒什麽，越來越多的研究發現，因為某些原因，在長期婚戀關係中，性生活減少的現象越來越普遍了。盡管原因不明，但專家常常將此歸咎於女性缺乏熱情。要麽說女性的性欲下降，要麽說她們把精力放在孩子身上而不是婚戀關係上。製藥公司發現了這種欲望的差異，爭相成為第一種女性偉哥類產品的製造者。但女性真的需要藥物來幫助她們進入狀態嗎？我不這麽認為。這個問題的解決方式簡單到難以置信。我用博弈論的方法找到了它——就像我研究信任和背叛那樣。這種方法得出的結論可以幫助每對伴侶重新點燃愛火——沒有人需要為了這些福利去解碼數學公式。
下麵，我就告訴你我是怎麽用博弈論解決這個常見悖論的。有意思的是：經常做愛的伴侶中的一方從不會因對方拒絕而發怒，或者排斥或懲罰對方。說“不”的一方一定不會收到任何負麵效益。事實上，拒絕的一方甚至還會得到很多正麵收益。
設想這兩種場景：伊恩正興致勃勃，但艾米卻沒有。他知道他不得不接受艾米的拒絕，但是他感覺很糟。他堅信艾米拒絕了他的正當權利。如果他不能讓艾米改變，不論他做出什麽消極反應，他對艾米的懲罰都傳遞出這樣的信號：你不能對我說不。當然，這絕不會讓艾米燃起興趣，隻會造成相反的效果，讓他們之間的憤懣和緊張升級，還可能會讓艾米下次更沒興趣做愛。
另一種場景：當艾米拒絕了做愛的請求，伊恩接受了。就像剛才一樣，他沒有懷恨在心。沒有把做愛看成自己的正當權利。艾米甚至從說“不”中得到了一點正麵收益。下麵的例子是一個經得起時間考驗的場景：
艾米：今晚不行。我頭疼。
伊恩：可憐的寶貝。我完全理解。我愛你。
伊恩關切的迴答和傳統的迴答“你怎麽老頭疼”大相徑庭。這種迴答方式也更加有效。拒絕得到正麵收益並沒有讓艾米以後變得更容易拒絕。相反，這種收益強化了伊恩對她的愛。這才是他們性生活的核心，這才叫“做愛”而不隻是提高了性宣泄的頻率。從本質來講，艾米對性行為說“不”，伊恩的迴答讓她得到了被愛的感覺。我們都知道，在一個充滿關愛的氣氛中，性行為才會變得更頻繁。在互信的婚戀關係中，性行為並不是為了滿足色欲。更多的時間裏，性行為是在製造愛。
但是不要因此就接受我所說的話。我們用數字說話。
混合策略下的收益
我們知道博弈論的基本觀點是人們根據他們獲得的收益來評估他們和其他人的交易。盡管我們可能沒有察覺，但我們每時每刻都在給婚戀關係打分。比如一對伴侶經過漫長的一天後終於見麵了。丈夫給了妻子一個燦爛的笑臉，妻子卻三心二意地迴了一個。他們雙方都會對彼此的迴應打分。換句話說，他們會把這個微笑和對方的其他微笑以及其他人（甚至想象出來的其他人）的微笑作比較。妻子可能會想：“他給了我一個多麽燦爛的笑臉啊。我不能想象其他任何人看到我會這麽高興。”但是丈夫可能會想：“她這次沒有以前笑得開心。我甚至能想象其他人打招唿時給我的微笑都比這個顯得高興。”
如果我們用分數來計算這些評價，就可以畫出一張小表格，類似我們在第1章中給阿爾和珍妮分配家務活而畫的那個。我們將這種類型的表格稱為“收益表格”。它顯示出每個人在交易中的收益。
我們會用-5到+5之間的數值計分。妻子覺得丈夫的微笑很棒，所以她給了+5分。但是丈夫給了妻子-3分，見表3—1。
表3-1 夫妻笑容迴報率
博弈論用這種表格分析行為。它創造了不同的情景，或稱“博弈”，然後計算每位玩家的相關收益。這取決於他們追求的策略。一種博弈被稱為“獵鹿”，這是一種協作，而不是競爭，所以非常符合現在的狀況。
海斯特和她的丈夫維克多進入了叢林。他們可以選擇獵兔或者獵鹿。他們必須同時做出選擇，而不能商量。計分方式如下：獵鹿需要兩個人。所以如果一個人在另一個人選擇獵鹿時選擇去獵兔，那麽他就能抓到所有的兔子（+2），獵鹿者就隻能空手而歸（0）。如果他們能夠聯合起來獵鹿，就可以分別得到3分。如果他們一起去獵兔，就得分享戰利品，所以每個人得1分。得分方式呈現在表3—2中。（括號中的第一個數字代表維克多的收益，第二個代表海斯特的。）
表3-2 維克多和海斯特的收益
為了便於分析這個博弈，我們先從維克多的角度看待這個局麵。既然海斯特的收益暫時和我們無關，我就在下麵的表3—3用問號（？）表示。
表3-3 海斯特獵鹿時維克多捕獵的收益
獵鹿比獵兔可以得到更多分，所以我們在這個選擇後麵打上一個星（*）。在博弈論的語境下，我們說獵鹿比起獵兔對維克多來說更具有“嚴格優勢”。這顯然是個更好的選擇。
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現在，讓我們從表3—4來看看海斯特選擇獵兔對維克多的影響。
表3-4 海斯特獵兔時維克多捕獵的收益
在這種情況下，獵兔比獵鹿對維克多來說更具有“嚴格優勢”。我們現在來從海斯特的角度看一看。對於海斯特來說，如果維克多獵鹿，她的最佳選擇也是獵鹿，如表3—5所示。
表3-5 維克多獵鹿時海斯特捕獵的收益
如果維克多獵兔，海斯特麵臨的狀況如表3—6所示。
表3-6 維克多獵兔時海斯特捕獵的收益
把這些小表格合並成一張大表3—7。
表3-7 維克多和海斯特捕獵的收益
你會發現有兩個格子都打了星號——這就是玩家的最佳結果。我們把這種雙星格子稱為博弈的“解”。為什麽？因為這表示在這種情況下沒有一個玩家能夠在隻改變自己的情況下做出更好的選擇。比如，讓我們看都去獵鹿的格子（3*,3*）。如果維克多改去獵兔，他的收益就會從3降到2，不是個好選擇。海斯特也會麵臨同樣的結果。（3*,3*）格子就被稱為博弈的“純策略”納什均衡。沒有人能夠僅憑自己換用另一種策略就做得更好。
另一個解（1*,1*）也被認為是一個純策略納什均衡，盡管玩家雙方得到的分數更低。如果維克多改去獵鹿，他的分數就會從1變成0，不是個好策略。對於海斯特來說，擅自改主意也不是一個好選擇。
現在我們有了基本原則，讓我們看看如果海斯特和維克多一遍遍地進行這個博弈並且使用各種策略搭配會發生什麽。重複博弈後的情況有點類似真實婚戀關係中的伴侶，因為他們在生活中有過一次又一次的博弈。例如，他們有一半時間同時選擇獵鹿或者獵兔，但實際上我們可以通過彼此的角度找到最佳的重複策略（稱為混合策略）。
我們假設維克多決定去獵鹿的可能性為σ（字母“σ”表示可能性），獵兔的可能性為（1-σ鹿）。然後，如果維克多獵鹿的可能性是σ，獵兔的可能性是（1-σ鹿），那麽，如果海斯特獵鹿，她的期望收益（ep）則為：
ep=（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）
如果海斯特獵兔：
ep=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
現在如果我們設ep鹿=ep兔，那麽維克多的行為對海斯特的收益就沒有影響，不管他怎麽混合選擇。所以維克多的混合選擇對於海斯特是可接受的（達到了她的無差別點）。
（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
3σ=1+σ
2σ=1
σ=1/2
所以，如果維克多獵鹿的概率為1/2，獵兔的概率也為1/2的話，海斯特就不會在意他的選擇。維克多的選擇不會影響她的收益。所以混合策略而非純策略，對維克多來說是一種納什均衡。
為了達到均衡，類似的計算顯示，混合策略在另一種情況下同樣有效。如果海斯特獵鹿和獵兔的概率都是1/2，維克多的選擇對結果沒有影響。所以當每個人獵鹿和獵兔的概率都是1/2時，這些選擇就是一個混合策略納什均衡。
零和博弈
在“勝者通吃”的博弈中，收益表的每個格子中都存在一個贏家和一個輸家。在下麵的例子中，兩位玩家同時移動桌子上的撲克牌，結果如表3—8所示。
表3-8 玩家收益
這種博弈不存在純策略納什均衡——雙方都不可能同時獲得最大收益。但是，我們現在來看混合策略均衡。雙方基於特定的概率做出選擇。（我們再次假設博弈有很多輪。）他用拋硬幣的方法決定向上還是向下。結果是，他隨機選擇每個選項的概率都是50%。所以她向左的期望收益就是：
ep=（0.5）（-3）+（0.5）（1）=-1
向右，她的期望收益為：
ep=（0.5）（2）+（0.5）（0）=1
所以，如果他擲出無偏硬幣來決定向上還是向下，她就應該采取向右的純策略，因為這樣的期望收益大於向左的。既然他知道這些，就不會用擲硬幣的方法隨機選擇了。
就像我們看到的這樣，博弈論的分析讓我們可以用代數的方法計算怎樣才能得到理想的納什均衡。我們又找到了博弈者在對手采取純策略時的無差別點。他向上的概率變成了我們需要求解的未知數σ。如果他向上的概率是σ，我們就知道他向下的概率必然是（1-σ上）。所以我們可以計算出另一位玩家（“她”）的期望收益：
ep=（σ上）（-3）+（1-σ上）（1）=-4σ+1
ep=（σ上）（2）+（1-σ上）（0）=2σ
我們現在要設ep=ep來找到讓她可以不在乎他作何選擇的σ。得出等式：
ep=ep
-4σ+1=2σ
1=6σ
σ=1/6
總結，如果他向上的概率是1/6，向下的概率是5/6，她無論怎樣選擇都可以達到同樣的期望收益。他采用這種混合策略時，她向左還是向右都不會得到更高的分數。
現在讓我們跳過這些來從她的角度看他的收益。為了能讓他在她的混合策略麵前隨意選擇，她向左的概率是σ，向右的概率是（1-σ左）。我們從他的期望收益開始：
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ep=（σ左）（3）+（1-σ左）（-2）=5σ-2
ep=（σ左）（-1）+（1-σ左）（0）=-σ
接著，我們用這個等式找到他達到無差別點時的概率σ：
ep=ep
5σ-2=-σ
6σ=2
σ=1/3
我們發現如果她向左的概率是1/3，向右的概率是2/3，那麽她的混合條件策略選擇對他沒有影響。
當我們把他們雙方的混合策略聯係起來，就得到了這個博弈的混合策略納什均衡。所以即使沒有純策略納什均衡，博弈中也可以有混合策略納什均衡。
這種混合策略也會影響婚戀關係。婚戀關係中的行為也是頻繁且有一定概率的交易。即使當純策略博弈不能解決時，博弈中也可以有納什均衡，這真是個好消息。這樣我們就可以把它應用到婚戀關係中，判斷是接受還是拒絕做愛的邀請。
接受還是拒絕性行為
讓我們迴到艾米和伊恩的例子上。每一天，他們中的一個都會對另一個發起性行為。假設他們的收益相等，那麽收益如表3—9所示。
表3-9 伊恩和艾米的收益
伊恩和艾米都接受性行為時，分別會給出最高分（5,5）。他們喜歡做愛，並且希望做很多。他們都拒絕性行為時也會給出低分（0,0）。這說得通。在“混搭”的格子中，如果艾米接受而伊恩拒絕，艾米就會因為被拒絕而不高興，所以她得到的收益為-1，而伊恩得到1。這說明她有被拒絕的感覺，他感覺良好。相應地，如果艾米拒絕而伊恩接受，艾米就得到1，而伊恩得-1。這個多次重複概率看起來是一種合理的心理設置，符合我們對伴侶的假設。
所以這裏的純策略納什均衡——讓他們都得到最優解的方法是什麽？實際上隻有一個。讓我們從伊恩的角度看這兩個選擇，見表3—10。
表3-10 伊恩接受
顯然，表示最佳結果的星號標注在5後。如果他拒絕，請看表3—11。
表3-11 伊恩拒絕
星號在1後。從艾米的角度看，見表3—12。
表3-12 艾米接受
星號顯然在5後。如果她拒絕性行為，見表3—13。
表3-13 艾米拒絕
這次星號在1後。所以把它們合並為表3—14。
表3-14 伊恩和艾米的選擇
所以，隻有一種純策略納什均衡，就是他們都接受性行為。這並不讓人感到驚訝。到現在為止，一切都說得通。但我們現在要知道雙方接受性行為的概率和伴侶對性行為頻率的期望。我們可以通過下麵的表3—15和表3—16計算出伊恩的無差別點。
表3-15 伊恩接受
表3-16 伊恩拒絕
ep=5σ+（-1）（1-σ同意）
ep=1σ+（0）（1-σ同意）
若要伊恩達到無差別點，則ep=ep
5σ-1+σ=σ
5σ=1
σ=1/5
如果讓伊恩的收益達到無差別點，那麽艾米的混合策略就是1/5的時間裏接受性行為，其他4/5的時間裏拒絕。那麽伊恩的混合策略該是什麽呢？通過表3—12與表3—13計算如下：
ep=5σ+（-1）（1-σ同意）
ep=1σ+（0）（1-σ同意）
若要艾米達到無差別點，則ep=ep
5σ-1+σ=σ
σ=1/5
如果伊恩在1/5的時間裏同意性行為，4/5的時間裏拒絕，那麽艾米就會達到收益的無差別點。好吧，我們終於找到了混合策略納什均衡。太好了！
根據這張收益表，他們實際的性行為頻率會是怎樣的呢？既然他們雙方都必須接受性行為的發生，雙方同時接受的概率是（1/5）（1/5）=1/25=0.04，也就是4%。在一年的365天裏，他們大約會有15天進行性行為（差不多3周1次）。對於這對伴侶來說出奇地低。既然他們已經建立起一個合理的心理模型，那麽問題在什麽地方呢？
現在我們往好處看。我們再來看看最初的博弈論表格，用變量r來表示拒絕性行為的收益，見表3—17。
表3-17 拒絕的收益
對於艾米來說，混合等式就變成了：
5σ+（r）（1-σ同意）=（r）（σ同意）+（0）（1-σ同意）
σ（5-2r）=r
σ=r/（5-2r）
如果我們想讓σ=0.5，那麽r必須為1.25。對於伊恩來說等式也是一樣的。所以如果我們讓r=1.25，他們性行為的概率就是（1/2）（1/2）=0.25。這就是說如果r=1.25，那麽他們一年就會有91次性行為——大約每周1.8次。
這個數字和在全美範圍內進行統計得到的平均值十分接近。如果把r設定得更高（也就是讓拒絕的收益變大），那麽他們的性行為就會更加頻繁！比如，如果r=1.53，那麽σ=0.80。艾米80%的時候都會同意。所以他們性行為的次數就是0.8x0.8x365=233天/每年，也就是1周4次。對於伊恩和艾米來說簡直太好了。
這個結果表明，伴侶要想有更多的性行為，他們中的任何一個完全可以——甚至最好——經常拒絕。實際上說“不”反而會得到正麵收益。這個結果可能會讓你震驚，但在數學上是合理的。
我知道很多人覺得這件事非常複雜，很難理解。但是我們計算的這個解並不複雜。這種博弈論的分析給欲望減退的伴侶提供了一種簡單的方法。如果你們中的任何一個人可以說“今晚不行”，就會有更多個“今晚可以”在等著你們。不需要女性偉哥，隻要變得更敏感一點。
在美國人的臥室裏究竟發生了什麽？沒什麽，越來越多的研究發現，因為某些原因，在長期婚戀關係中，性生活減少的現象越來越普遍了。盡管原因不明，但專家常常將此歸咎於女性缺乏熱情。要麽說女性的性欲下降，要麽說她們把精力放在孩子身上而不是婚戀關係上。製藥公司發現了這種欲望的差異，爭相成為第一種女性偉哥類產品的製造者。但女性真的需要藥物來幫助她們進入狀態嗎？我不這麽認為。這個問題的解決方式簡單到難以置信。我用博弈論的方法找到了它——就像我研究信任和背叛那樣。這種方法得出的結論可以幫助每對伴侶重新點燃愛火——沒有人需要為了這些福利去解碼數學公式。
下麵，我就告訴你我是怎麽用博弈論解決這個常見悖論的。有意思的是：經常做愛的伴侶中的一方從不會因對方拒絕而發怒，或者排斥或懲罰對方。說“不”的一方一定不會收到任何負麵效益。事實上，拒絕的一方甚至還會得到很多正麵收益。
設想這兩種場景：伊恩正興致勃勃，但艾米卻沒有。他知道他不得不接受艾米的拒絕，但是他感覺很糟。他堅信艾米拒絕了他的正當權利。如果他不能讓艾米改變，不論他做出什麽消極反應，他對艾米的懲罰都傳遞出這樣的信號：你不能對我說不。當然，這絕不會讓艾米燃起興趣，隻會造成相反的效果，讓他們之間的憤懣和緊張升級，還可能會讓艾米下次更沒興趣做愛。
另一種場景：當艾米拒絕了做愛的請求，伊恩接受了。就像剛才一樣，他沒有懷恨在心。沒有把做愛看成自己的正當權利。艾米甚至從說“不”中得到了一點正麵收益。下麵的例子是一個經得起時間考驗的場景：
艾米：今晚不行。我頭疼。
伊恩：可憐的寶貝。我完全理解。我愛你。
伊恩關切的迴答和傳統的迴答“你怎麽老頭疼”大相徑庭。這種迴答方式也更加有效。拒絕得到正麵收益並沒有讓艾米以後變得更容易拒絕。相反，這種收益強化了伊恩對她的愛。這才是他們性生活的核心，這才叫“做愛”而不隻是提高了性宣泄的頻率。從本質來講，艾米對性行為說“不”，伊恩的迴答讓她得到了被愛的感覺。我們都知道，在一個充滿關愛的氣氛中，性行為才會變得更頻繁。在互信的婚戀關係中，性行為並不是為了滿足色欲。更多的時間裏，性行為是在製造愛。
但是不要因此就接受我所說的話。我們用數字說話。
混合策略下的收益
我們知道博弈論的基本觀點是人們根據他們獲得的收益來評估他們和其他人的交易。盡管我們可能沒有察覺，但我們每時每刻都在給婚戀關係打分。比如一對伴侶經過漫長的一天後終於見麵了。丈夫給了妻子一個燦爛的笑臉，妻子卻三心二意地迴了一個。他們雙方都會對彼此的迴應打分。換句話說，他們會把這個微笑和對方的其他微笑以及其他人（甚至想象出來的其他人）的微笑作比較。妻子可能會想：“他給了我一個多麽燦爛的笑臉啊。我不能想象其他任何人看到我會這麽高興。”但是丈夫可能會想：“她這次沒有以前笑得開心。我甚至能想象其他人打招唿時給我的微笑都比這個顯得高興。”
如果我們用分數來計算這些評價，就可以畫出一張小表格，類似我們在第1章中給阿爾和珍妮分配家務活而畫的那個。我們將這種類型的表格稱為“收益表格”。它顯示出每個人在交易中的收益。
我們會用-5到+5之間的數值計分。妻子覺得丈夫的微笑很棒，所以她給了+5分。但是丈夫給了妻子-3分，見表3—1。
表3-1 夫妻笑容迴報率
博弈論用這種表格分析行為。它創造了不同的情景，或稱“博弈”，然後計算每位玩家的相關收益。這取決於他們追求的策略。一種博弈被稱為“獵鹿”，這是一種協作，而不是競爭，所以非常符合現在的狀況。
海斯特和她的丈夫維克多進入了叢林。他們可以選擇獵兔或者獵鹿。他們必須同時做出選擇，而不能商量。計分方式如下：獵鹿需要兩個人。所以如果一個人在另一個人選擇獵鹿時選擇去獵兔，那麽他就能抓到所有的兔子（+2），獵鹿者就隻能空手而歸（0）。如果他們能夠聯合起來獵鹿，就可以分別得到3分。如果他們一起去獵兔，就得分享戰利品，所以每個人得1分。得分方式呈現在表3—2中。（括號中的第一個數字代表維克多的收益，第二個代表海斯特的。）
表3-2 維克多和海斯特的收益
為了便於分析這個博弈，我們先從維克多的角度看待這個局麵。既然海斯特的收益暫時和我們無關，我就在下麵的表3—3用問號（？）表示。
表3-3 海斯特獵鹿時維克多捕獵的收益
獵鹿比獵兔可以得到更多分，所以我們在這個選擇後麵打上一個星（*）。在博弈論的語境下，我們說獵鹿比起獵兔對維克多來說更具有“嚴格優勢”。這顯然是個更好的選擇。
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現在，讓我們從表3—4來看看海斯特選擇獵兔對維克多的影響。
表3-4 海斯特獵兔時維克多捕獵的收益
在這種情況下，獵兔比獵鹿對維克多來說更具有“嚴格優勢”。我們現在來從海斯特的角度看一看。對於海斯特來說，如果維克多獵鹿，她的最佳選擇也是獵鹿，如表3—5所示。
表3-5 維克多獵鹿時海斯特捕獵的收益
如果維克多獵兔，海斯特麵臨的狀況如表3—6所示。
表3-6 維克多獵兔時海斯特捕獵的收益
把這些小表格合並成一張大表3—7。
表3-7 維克多和海斯特捕獵的收益
你會發現有兩個格子都打了星號——這就是玩家的最佳結果。我們把這種雙星格子稱為博弈的“解”。為什麽？因為這表示在這種情況下沒有一個玩家能夠在隻改變自己的情況下做出更好的選擇。比如，讓我們看都去獵鹿的格子（3*,3*）。如果維克多改去獵兔，他的收益就會從3降到2，不是個好選擇。海斯特也會麵臨同樣的結果。（3*,3*）格子就被稱為博弈的“純策略”納什均衡。沒有人能夠僅憑自己換用另一種策略就做得更好。
另一個解（1*,1*）也被認為是一個純策略納什均衡，盡管玩家雙方得到的分數更低。如果維克多改去獵鹿，他的分數就會從1變成0，不是個好策略。對於海斯特來說，擅自改主意也不是一個好選擇。
現在我們有了基本原則，讓我們看看如果海斯特和維克多一遍遍地進行這個博弈並且使用各種策略搭配會發生什麽。重複博弈後的情況有點類似真實婚戀關係中的伴侶，因為他們在生活中有過一次又一次的博弈。例如，他們有一半時間同時選擇獵鹿或者獵兔，但實際上我們可以通過彼此的角度找到最佳的重複策略（稱為混合策略）。
我們假設維克多決定去獵鹿的可能性為σ（字母“σ”表示可能性），獵兔的可能性為（1-σ鹿）。然後，如果維克多獵鹿的可能性是σ，獵兔的可能性是（1-σ鹿），那麽，如果海斯特獵鹿，她的期望收益（ep）則為：
ep=（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）
如果海斯特獵兔：
ep=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
現在如果我們設ep鹿=ep兔，那麽維克多的行為對海斯特的收益就沒有影響，不管他怎麽混合選擇。所以維克多的混合選擇對於海斯特是可接受的（達到了她的無差別點）。
（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
3σ=1+σ
2σ=1
σ=1/2
所以，如果維克多獵鹿的概率為1/2，獵兔的概率也為1/2的話，海斯特就不會在意他的選擇。維克多的選擇不會影響她的收益。所以混合策略而非純策略，對維克多來說是一種納什均衡。
為了達到均衡，類似的計算顯示，混合策略在另一種情況下同樣有效。如果海斯特獵鹿和獵兔的概率都是1/2，維克多的選擇對結果沒有影響。所以當每個人獵鹿和獵兔的概率都是1/2時，這些選擇就是一個混合策略納什均衡。
零和博弈
在“勝者通吃”的博弈中，收益表的每個格子中都存在一個贏家和一個輸家。在下麵的例子中，兩位玩家同時移動桌子上的撲克牌，結果如表3—8所示。
表3-8 玩家收益
這種博弈不存在純策略納什均衡——雙方都不可能同時獲得最大收益。但是，我們現在來看混合策略均衡。雙方基於特定的概率做出選擇。（我們再次假設博弈有很多輪。）他用拋硬幣的方法決定向上還是向下。結果是，他隨機選擇每個選項的概率都是50%。所以她向左的期望收益就是：
ep=（0.5）（-3）+（0.5）（1）=-1
向右，她的期望收益為：
ep=（0.5）（2）+（0.5）（0）=1
所以，如果他擲出無偏硬幣來決定向上還是向下，她就應該采取向右的純策略，因為這樣的期望收益大於向左的。既然他知道這些，就不會用擲硬幣的方法隨機選擇了。
就像我們看到的這樣，博弈論的分析讓我們可以用代數的方法計算怎樣才能得到理想的納什均衡。我們又找到了博弈者在對手采取純策略時的無差別點。他向上的概率變成了我們需要求解的未知數σ。如果他向上的概率是σ，我們就知道他向下的概率必然是（1-σ上）。所以我們可以計算出另一位玩家（“她”）的期望收益：
ep=（σ上）（-3）+（1-σ上）（1）=-4σ+1
ep=（σ上）（2）+（1-σ上）（0）=2σ
我們現在要設ep=ep來找到讓她可以不在乎他作何選擇的σ。得出等式：
ep=ep
-4σ+1=2σ
1=6σ
σ=1/6
總結，如果他向上的概率是1/6，向下的概率是5/6，她無論怎樣選擇都可以達到同樣的期望收益。他采用這種混合策略時，她向左還是向右都不會得到更高的分數。
現在讓我們跳過這些來從她的角度看他的收益。為了能讓他在她的混合策略麵前隨意選擇，她向左的概率是σ，向右的概率是（1-σ左）。我們從他的期望收益開始：
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ep=（σ左）（3）+（1-σ左）（-2）=5σ-2
ep=（σ左）（-1）+（1-σ左）（0）=-σ
接著，我們用這個等式找到他達到無差別點時的概率σ：
ep=ep
5σ-2=-σ
6σ=2
σ=1/3
我們發現如果她向左的概率是1/3，向右的概率是2/3，那麽她的混合條件策略選擇對他沒有影響。
當我們把他們雙方的混合策略聯係起來，就得到了這個博弈的混合策略納什均衡。所以即使沒有純策略納什均衡，博弈中也可以有混合策略納什均衡。
這種混合策略也會影響婚戀關係。婚戀關係中的行為也是頻繁且有一定概率的交易。即使當純策略博弈不能解決時，博弈中也可以有納什均衡，這真是個好消息。這樣我們就可以把它應用到婚戀關係中，判斷是接受還是拒絕做愛的邀請。
接受還是拒絕性行為
讓我們迴到艾米和伊恩的例子上。每一天，他們中的一個都會對另一個發起性行為。假設他們的收益相等，那麽收益如表3—9所示。
表3-9 伊恩和艾米的收益
伊恩和艾米都接受性行為時，分別會給出最高分（5,5）。他們喜歡做愛，並且希望做很多。他們都拒絕性行為時也會給出低分（0,0）。這說得通。在“混搭”的格子中，如果艾米接受而伊恩拒絕，艾米就會因為被拒絕而不高興，所以她得到的收益為-1，而伊恩得到1。這說明她有被拒絕的感覺，他感覺良好。相應地，如果艾米拒絕而伊恩接受，艾米就得到1，而伊恩得-1。這個多次重複概率看起來是一種合理的心理設置，符合我們對伴侶的假設。
所以這裏的純策略納什均衡——讓他們都得到最優解的方法是什麽？實際上隻有一個。讓我們從伊恩的角度看這兩個選擇，見表3—10。
表3-10 伊恩接受
顯然，表示最佳結果的星號標注在5後。如果他拒絕，請看表3—11。
表3-11 伊恩拒絕
星號在1後。從艾米的角度看，見表3—12。
表3-12 艾米接受
星號顯然在5後。如果她拒絕性行為，見表3—13。
表3-13 艾米拒絕
這次星號在1後。所以把它們合並為表3—14。
表3-14 伊恩和艾米的選擇
所以，隻有一種純策略納什均衡，就是他們都接受性行為。這並不讓人感到驚訝。到現在為止，一切都說得通。但我們現在要知道雙方接受性行為的概率和伴侶對性行為頻率的期望。我們可以通過下麵的表3—15和表3—16計算出伊恩的無差別點。
表3-15 伊恩接受
表3-16 伊恩拒絕
ep=5σ+（-1）（1-σ同意）
ep=1σ+（0）（1-σ同意）
若要伊恩達到無差別點，則ep=ep
5σ-1+σ=σ
5σ=1
σ=1/5
如果讓伊恩的收益達到無差別點，那麽艾米的混合策略就是1/5的時間裏接受性行為，其他4/5的時間裏拒絕。那麽伊恩的混合策略該是什麽呢？通過表3—12與表3—13計算如下：
ep=5σ+（-1）（1-σ同意）
ep=1σ+（0）（1-σ同意）
若要艾米達到無差別點，則ep=ep
5σ-1+σ=σ
σ=1/5
如果伊恩在1/5的時間裏同意性行為，4/5的時間裏拒絕，那麽艾米就會達到收益的無差別點。好吧，我們終於找到了混合策略納什均衡。太好了！
根據這張收益表，他們實際的性行為頻率會是怎樣的呢？既然他們雙方都必須接受性行為的發生，雙方同時接受的概率是（1/5）（1/5）=1/25=0.04，也就是4%。在一年的365天裏，他們大約會有15天進行性行為（差不多3周1次）。對於這對伴侶來說出奇地低。既然他們已經建立起一個合理的心理模型，那麽問題在什麽地方呢？
現在我們往好處看。我們再來看看最初的博弈論表格，用變量r來表示拒絕性行為的收益，見表3—17。
表3-17 拒絕的收益
對於艾米來說，混合等式就變成了：
5σ+（r）（1-σ同意）=（r）（σ同意）+（0）（1-σ同意）
σ（5-2r）=r
σ=r/（5-2r）
如果我們想讓σ=0.5，那麽r必須為1.25。對於伊恩來說等式也是一樣的。所以如果我們讓r=1.25，他們性行為的概率就是（1/2）（1/2）=0.25。這就是說如果r=1.25，那麽他們一年就會有91次性行為——大約每周1.8次。
這個數字和在全美範圍內進行統計得到的平均值十分接近。如果把r設定得更高（也就是讓拒絕的收益變大），那麽他們的性行為就會更加頻繁！比如，如果r=1.53，那麽σ=0.80。艾米80%的時候都會同意。所以他們性行為的次數就是0.8x0.8x365=233天/每年，也就是1周4次。對於伊恩和艾米來說簡直太好了。
這個結果表明，伴侶要想有更多的性行為，他們中的任何一個完全可以——甚至最好——經常拒絕。實際上說“不”反而會得到正麵收益。這個結果可能會讓你震驚，但在數學上是合理的。
我知道很多人覺得這件事非常複雜，很難理解。但是我們計算的這個解並不複雜。這種博弈論的分析給欲望減退的伴侶提供了一種簡單的方法。如果你們中的任何一個人可以說“今晚不行”，就會有更多個“今晚可以”在等著你們。不需要女性偉哥，隻要變得更敏感一點。