祖暅之是南北朝時期南朝傑出的數學家和天文學家，他是祖衝之之子。
他的主要成就之一是提出了祖暅原理。祖暅原理的內容是“冪勢既同，則積不容異”。意思是等高的兩個立體，若在任意高處的水平截麵積相等，那麽它們的體積相等。憑借這個原理，他成功解決了劉徽沒能解決的球體積公式問題。西方在17世紀才由卡瓦列裏發現類似的原理，這比祖暅之晚了1000多年。
他還在曆法方麵有貢獻。祖衝之編製的《大明曆》，因為戴法興等人的阻撓，在祖衝之生前沒有施行。祖暅之三次上書，最終使得《大明曆》在梁武帝天監九年（510年）得以采用。
在天文觀測與儀器製造上，他也有所建樹。他監造八尺銅表來測量日影長度，並且發現北極星與北天極不動處相差約一度有餘。他還對漏壺等計時器進行了改進。
在生平經曆方麵，他受到家庭的熏陶，自幼鑽研數學和天文知識，繼承了父親的研究成果。他修補編輯《綴術》，這本書代表當時數學的最高水平，不過很可惜後來失傳了。
他在梁朝擔任員外散騎侍郎、太府卿等職。普通六年（525年）在徐州被北魏俘虜，後來又迴到南朝。
他把自己的學問傳授給信都芳、毛棲成和兒子祖皓，使得他們在數學等領域有所成就，為學術的傳承和發展做出了貢獻。
他著有《漏刻經》《天文錄》等作品。不過《漏刻經》已經失傳，《天文錄》也僅存殘篇。
劉徽介紹:
人物生平:
劉徽約生於公元225年，卒於公元295年，是魏晉時期山東鄒平縣人，出身平民家庭。
他自幼聰穎，博覽群書，對《九章算術》深入鑽研，於魏陳留王景元四年（263年）為其作注，並自撰自注《重差》一卷，後被稱為《海島算經》。
劉徽終生未仕，致力於數學研究，後半生曾在河南活動，於西晉初年逝世，北宋大觀三年（1109年）被封為淄鄉男。
主要思想:
極限思想：受名家和墨家影響，提出極限觀念，如“割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣”，並將其用於證明《九章算術》中的麵積公式等。
唯物主義思想：在《九章算術·少廣》章開立圓術注裏，指出張衡計算球體積的錯誤，體現了實事求是的唯物主義精神。
邏輯推理思維：是中國最早以演繹邏輯論證數學命題的人，主張“析理以辭，解體用圖”，把邏輯推理與直觀分析結合起來。
思辨思想：重視數學理論研究，反對生搬硬套公式，強調對數學理論的抽象概括和提煉，還對許多重要數學概念給出明確定義。
出入相補思想：將圖形的有限可分性概括為出入相補原理，用於證明勾股容圓公式及直線形的麵積公式等。
主要成就:
完善數學理論體係：通過注釋《九章算術》，闡述各算法的理論依據，揭示內在聯係，使其成為嚴謹、完整的理論體係。
數係理論：發明“求微數法”，創造十進分數逼近無理根，完善了實數係統。
籌式演算理論：建立從比率到“方程”的籌式演算統一理論，實現籌式演算的模式化與程序化。
勾股與測量理論：提出勾股“不失本率原理”，建立相似勾股形理論，奠定勾股測量術的理論基礎，還將其與比率算法結合，構成勾股測量方法與原理。
幾何學的求積理論：以長方形麵積公式為公理，用出入相補原理處理平麵直邊多邊形求積問題，提出“牟合方蓋”理論推進球體積計算，用極限方法建立劉徽體積原理，奠定多麵體求積理論基礎。
數學創作：創建“割圓術”，算出圓周率近似值，為當時世界最精確值，該方法將極限概念用於實際數學問題，影響深遠；還創立“劉徽定理”，利用極限思想和無窮小分割方法證明原理，解決多麵體體積問題。
《九章算術》是中國古代重要的數學典籍，以下是對其的分條列舉：
成書背景：原書作者不詳，一般認為是西漢張蒼和耿壽昌整理編纂成書，其內容源於先秦數學知識係統，後經劉徽注釋得以完善。
主要內容：共分為九章，包含246個與社會生活相關的數學問題及解題思路和答案 。第一章方田，主要講述長方形等平麵圖形的麵積計算方法、分數四則運算法則及計算分子分母最大公約數；第二章粟米，講述穀物糧食的按比例折換方法及比例算法；第三章衰分，講述比例分配問題；第四章少廣，講述已知圖形麵積和體積計算邊長和徑長以及開平方、開立方的方法；第五章商功，講述土石工程的分配方法及各種立體的體積計算方法；第六章均輸，講述用衰分術等比例方法解決賦稅和勞役問題；第七章盈不足，講述通過兩次假設解決盈虧問題；第八章方程，講述一次線性方程組及利用直除法、正負數的加減乘除法解決方程組等內容；第九章勾股，講述利用勾股定理解決實際問題。
主要思想：具有數形結合思想，在解決應用問題時將算數方法和繪製圖形相結合；重視實際，核心是數學適用於社會生活生產的實用性；體現了統計思想，包括統計分組、線性迴歸分析、隨機抽樣和數量關係等。
版本情況：版本眾多且較為冗雜，現代以郭書春的匯校本較為流行、清晰。
價值意義：史料價值方麵，保留了大量兩漢社會生活史料，為研究當時社會經濟發展提供參考；教育價值方麵，對今天中小學的數學教育在教學題目選擇、教學精神及培養學生能力素養等方麵具有重要參考和借鑒意義。
《九章算術注》是南北朝劉徽創作的數學著作，以下是相關介紹：
作者簡介:
劉徽約公元225年—295年，漢族，山東鄒平人，是魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基者之一。
創作背景:
劉徽自幼學習《九章算術》，在長期研究過程中，他發現原書存在一些不足和有待完善之處，於是對其進行了詳細注釋，
主要內容:
數係理論：用數的同類與異類闡述通分、約分等運算法則，明確給出正數、負數概念，探討數係基本元素問題，完善正負數加減方法，還創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。
籌式演算理論：給率明確定義，以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立數與式運算的統一理論基礎，並用“率”定義中國古代數學中的“方程”。
勾股理論：逐一論證勾股定理與解勾股形的計算原理，建立相似勾股形理論，發展勾股測量術，形成中國特色的相似理論。
麵積與體積理論：用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出劉徽原理，解決多種幾何形、幾何體的麵積、體積計算問題。
重要創見:
割圓術與圓周率：在《九章算術·圓田術》注中，用割圓術證明圓麵積精確公式，並算出圓內接正192邊形的麵積，得到π=3.14，又算到3072邊形的麵積，得出π=3.1416，即“徽率”。
劉徽原理：在《九章算術·陽馬術》注中，用無限分割方法解決錐體體積時，提出多麵體體積計算的劉徽原理。
牟合方蓋：在《九章算術·開立圓術》注中，指出球體積公式的不精確性，並引入“牟合方蓋”幾何模型。
方程新術：在《九章算術·方程術》注中，提出解線性方程組的新方法，運用比率算法思想。
重差術：在自撰的《海島算經》中，提出重差術，采用重表、連索和累矩等測高測遠方法，並使重差術由兩次測望發展為“三望”“四望”。
作品影響:
《九章算術注》中蘊含的邏輯思想、重驗思想、極限思想等極其深邃，使以《九章算術》為代表的中國傳統數學發生根本性變化並上升到新的階段，劉徽也堪稱世界數學泰鬥。
割圓術的基本原理是用圓內接正多邊形的麵積或周長去無限逼近圓的麵積或周長，進而求得圓周率的近似值。具體如下：
從圓內接正六邊形開始：由於圓的內接正六邊形的邊長等於半徑，其周長與直徑之比為“周三徑一”。在此基礎上，依次等分圓周，得到圓內接正十二邊形、二十四邊形等，邊數不斷加倍。
利用勾股定理計算邊長：通過勾股定理，根據已知的圓內接正多邊形的邊長和半徑等數據，計算出邊數增加後的正多邊形的邊長，從而得到其周長和麵積 ，這些數值會隨著邊數的增加越來越接近圓的周長和麵積。
極限思想的應用：劉徽指出，當分割越來越細，達到“不可再割”的極限程度時，內接正多邊形與圓相合，內接正多邊形與圓麵積之差遞減為零，即通過不斷增加邊數，使正多邊形無限逼近圓，以實現用有限的計算來逼近無窮的精確值。
“重差”是中國古代數學中的一種測量方法。
它主要用於測量遠方物體的高度、深度、寬度等。通過兩次測量的差值來計算目標物體的相關數據。
在劉徽的《海島算經》中，重差術發揮了重要作用。書中記載了多種利用重差術進行測量的情況。比如“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前後相去千步，令後表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？”這就是利用重差術解決海島高度和距離問題的典型例子，通過設立兩根等高的標杆，測量兩次人目看島峰與標杆頂端重合時後退的步數等數據，根據這些數據之間的比例關係，進而推算出海島的高度和與標杆的距離等相關信息。這種方法體現了中國古代數學在實際測量應用中的智慧。
《海島算經》是魏晉時期數學家劉徽所著的一部測量學著作，原是《劉徽九章算術注》的第十卷，名為《重差》，唐代時從《九章算術》中分離出來單獨成書，並以第一題“今有望海島”得名。以下是其詳細介紹：
內容:
全書共9題，所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數據，來推算目標的高、深、廣、遠等 。比如第一題通過立兩根等高的表，測量人目看島峰與表末重合時從前表和後表退行的步數等數據，進而求得島高和島與前表的距離；第二題求鬆高及山與表的距離；第三題則是通過立兩表用索連之，測量相關數據來計算邑方及邑與表的距離等。
方法:
書中使用了重表法、連索法、累矩法等測量方法。重表法如第一題中通過兩根等高表測量海島；連索法是用繩索連接兩表進行測量，如第三題測量方邑；累矩法是通過設置多個矩尺來測量，如第四題測量深穀。
曆史意義:
《海島算經》是中國最早的測量數學專著，使中國在測量學方麵領先於西方約一千年。它為中國古代高度發達的地圖學奠定了數學基礎，書中的重差術更是測量學曆史上的領先創造 。此外，該書在唐代傳入朝鮮、日本等國，對周邊國家的數學發展也產生了一定影響。
後世研究:
南北朝數學家祖衝之曾為《九章重差圖》作注。 唐初李淳風等注釋《算經十書》，《海島算經》是其中之一，且規定其學習期限為三年，可見該書在唐代受重視程度。後世還有諸多數學家如南宋秦九韶、楊輝，元代朱世傑，清戴震、李潢、沈欽裴等都對其進行過研究或注釋。
他的主要成就之一是提出了祖暅原理。祖暅原理的內容是“冪勢既同，則積不容異”。意思是等高的兩個立體，若在任意高處的水平截麵積相等，那麽它們的體積相等。憑借這個原理，他成功解決了劉徽沒能解決的球體積公式問題。西方在17世紀才由卡瓦列裏發現類似的原理，這比祖暅之晚了1000多年。
他還在曆法方麵有貢獻。祖衝之編製的《大明曆》，因為戴法興等人的阻撓，在祖衝之生前沒有施行。祖暅之三次上書，最終使得《大明曆》在梁武帝天監九年（510年）得以采用。
在天文觀測與儀器製造上，他也有所建樹。他監造八尺銅表來測量日影長度，並且發現北極星與北天極不動處相差約一度有餘。他還對漏壺等計時器進行了改進。
在生平經曆方麵，他受到家庭的熏陶，自幼鑽研數學和天文知識，繼承了父親的研究成果。他修補編輯《綴術》，這本書代表當時數學的最高水平，不過很可惜後來失傳了。
他在梁朝擔任員外散騎侍郎、太府卿等職。普通六年（525年）在徐州被北魏俘虜，後來又迴到南朝。
他把自己的學問傳授給信都芳、毛棲成和兒子祖皓，使得他們在數學等領域有所成就，為學術的傳承和發展做出了貢獻。
他著有《漏刻經》《天文錄》等作品。不過《漏刻經》已經失傳，《天文錄》也僅存殘篇。
劉徽介紹:
人物生平:
劉徽約生於公元225年，卒於公元295年，是魏晉時期山東鄒平縣人，出身平民家庭。
他自幼聰穎，博覽群書，對《九章算術》深入鑽研，於魏陳留王景元四年（263年）為其作注，並自撰自注《重差》一卷，後被稱為《海島算經》。
劉徽終生未仕，致力於數學研究，後半生曾在河南活動，於西晉初年逝世，北宋大觀三年（1109年）被封為淄鄉男。
主要思想:
極限思想：受名家和墨家影響，提出極限觀念，如“割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣”，並將其用於證明《九章算術》中的麵積公式等。
唯物主義思想：在《九章算術·少廣》章開立圓術注裏，指出張衡計算球體積的錯誤，體現了實事求是的唯物主義精神。
邏輯推理思維：是中國最早以演繹邏輯論證數學命題的人，主張“析理以辭，解體用圖”，把邏輯推理與直觀分析結合起來。
思辨思想：重視數學理論研究，反對生搬硬套公式，強調對數學理論的抽象概括和提煉，還對許多重要數學概念給出明確定義。
出入相補思想：將圖形的有限可分性概括為出入相補原理，用於證明勾股容圓公式及直線形的麵積公式等。
主要成就:
完善數學理論體係：通過注釋《九章算術》，闡述各算法的理論依據，揭示內在聯係，使其成為嚴謹、完整的理論體係。
數係理論：發明“求微數法”，創造十進分數逼近無理根，完善了實數係統。
籌式演算理論：建立從比率到“方程”的籌式演算統一理論，實現籌式演算的模式化與程序化。
勾股與測量理論：提出勾股“不失本率原理”，建立相似勾股形理論，奠定勾股測量術的理論基礎，還將其與比率算法結合，構成勾股測量方法與原理。
幾何學的求積理論：以長方形麵積公式為公理，用出入相補原理處理平麵直邊多邊形求積問題，提出“牟合方蓋”理論推進球體積計算，用極限方法建立劉徽體積原理，奠定多麵體求積理論基礎。
數學創作：創建“割圓術”，算出圓周率近似值，為當時世界最精確值，該方法將極限概念用於實際數學問題，影響深遠；還創立“劉徽定理”，利用極限思想和無窮小分割方法證明原理，解決多麵體體積問題。
《九章算術》是中國古代重要的數學典籍，以下是對其的分條列舉：
成書背景：原書作者不詳，一般認為是西漢張蒼和耿壽昌整理編纂成書，其內容源於先秦數學知識係統，後經劉徽注釋得以完善。
主要內容：共分為九章，包含246個與社會生活相關的數學問題及解題思路和答案 。第一章方田，主要講述長方形等平麵圖形的麵積計算方法、分數四則運算法則及計算分子分母最大公約數；第二章粟米，講述穀物糧食的按比例折換方法及比例算法；第三章衰分，講述比例分配問題；第四章少廣，講述已知圖形麵積和體積計算邊長和徑長以及開平方、開立方的方法；第五章商功，講述土石工程的分配方法及各種立體的體積計算方法；第六章均輸，講述用衰分術等比例方法解決賦稅和勞役問題；第七章盈不足，講述通過兩次假設解決盈虧問題；第八章方程，講述一次線性方程組及利用直除法、正負數的加減乘除法解決方程組等內容；第九章勾股，講述利用勾股定理解決實際問題。
主要思想：具有數形結合思想，在解決應用問題時將算數方法和繪製圖形相結合；重視實際，核心是數學適用於社會生活生產的實用性；體現了統計思想，包括統計分組、線性迴歸分析、隨機抽樣和數量關係等。
版本情況：版本眾多且較為冗雜，現代以郭書春的匯校本較為流行、清晰。
價值意義：史料價值方麵，保留了大量兩漢社會生活史料，為研究當時社會經濟發展提供參考；教育價值方麵，對今天中小學的數學教育在教學題目選擇、教學精神及培養學生能力素養等方麵具有重要參考和借鑒意義。
《九章算術注》是南北朝劉徽創作的數學著作，以下是相關介紹：
作者簡介:
劉徽約公元225年—295年，漢族，山東鄒平人，是魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基者之一。
創作背景:
劉徽自幼學習《九章算術》，在長期研究過程中，他發現原書存在一些不足和有待完善之處，於是對其進行了詳細注釋，
主要內容:
數係理論：用數的同類與異類闡述通分、約分等運算法則，明確給出正數、負數概念，探討數係基本元素問題，完善正負數加減方法，還創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。
籌式演算理論：給率明確定義，以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立數與式運算的統一理論基礎，並用“率”定義中國古代數學中的“方程”。
勾股理論：逐一論證勾股定理與解勾股形的計算原理，建立相似勾股形理論，發展勾股測量術，形成中國特色的相似理論。
麵積與體積理論：用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出劉徽原理，解決多種幾何形、幾何體的麵積、體積計算問題。
重要創見:
割圓術與圓周率：在《九章算術·圓田術》注中，用割圓術證明圓麵積精確公式，並算出圓內接正192邊形的麵積，得到π=3.14，又算到3072邊形的麵積，得出π=3.1416，即“徽率”。
劉徽原理：在《九章算術·陽馬術》注中，用無限分割方法解決錐體體積時，提出多麵體體積計算的劉徽原理。
牟合方蓋：在《九章算術·開立圓術》注中，指出球體積公式的不精確性，並引入“牟合方蓋”幾何模型。
方程新術：在《九章算術·方程術》注中，提出解線性方程組的新方法，運用比率算法思想。
重差術：在自撰的《海島算經》中，提出重差術，采用重表、連索和累矩等測高測遠方法，並使重差術由兩次測望發展為“三望”“四望”。
作品影響:
《九章算術注》中蘊含的邏輯思想、重驗思想、極限思想等極其深邃，使以《九章算術》為代表的中國傳統數學發生根本性變化並上升到新的階段，劉徽也堪稱世界數學泰鬥。
割圓術的基本原理是用圓內接正多邊形的麵積或周長去無限逼近圓的麵積或周長，進而求得圓周率的近似值。具體如下：
從圓內接正六邊形開始：由於圓的內接正六邊形的邊長等於半徑，其周長與直徑之比為“周三徑一”。在此基礎上，依次等分圓周，得到圓內接正十二邊形、二十四邊形等，邊數不斷加倍。
利用勾股定理計算邊長：通過勾股定理，根據已知的圓內接正多邊形的邊長和半徑等數據，計算出邊數增加後的正多邊形的邊長，從而得到其周長和麵積 ，這些數值會隨著邊數的增加越來越接近圓的周長和麵積。
極限思想的應用：劉徽指出，當分割越來越細，達到“不可再割”的極限程度時，內接正多邊形與圓相合，內接正多邊形與圓麵積之差遞減為零，即通過不斷增加邊數，使正多邊形無限逼近圓，以實現用有限的計算來逼近無窮的精確值。
“重差”是中國古代數學中的一種測量方法。
它主要用於測量遠方物體的高度、深度、寬度等。通過兩次測量的差值來計算目標物體的相關數據。
在劉徽的《海島算經》中，重差術發揮了重要作用。書中記載了多種利用重差術進行測量的情況。比如“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前後相去千步，令後表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？”這就是利用重差術解決海島高度和距離問題的典型例子，通過設立兩根等高的標杆，測量兩次人目看島峰與標杆頂端重合時後退的步數等數據，根據這些數據之間的比例關係，進而推算出海島的高度和與標杆的距離等相關信息。這種方法體現了中國古代數學在實際測量應用中的智慧。
《海島算經》是魏晉時期數學家劉徽所著的一部測量學著作，原是《劉徽九章算術注》的第十卷，名為《重差》，唐代時從《九章算術》中分離出來單獨成書，並以第一題“今有望海島”得名。以下是其詳細介紹：
內容:
全書共9題，所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數據，來推算目標的高、深、廣、遠等 。比如第一題通過立兩根等高的表，測量人目看島峰與表末重合時從前表和後表退行的步數等數據，進而求得島高和島與前表的距離；第二題求鬆高及山與表的距離；第三題則是通過立兩表用索連之，測量相關數據來計算邑方及邑與表的距離等。
方法:
書中使用了重表法、連索法、累矩法等測量方法。重表法如第一題中通過兩根等高表測量海島；連索法是用繩索連接兩表進行測量，如第三題測量方邑；累矩法是通過設置多個矩尺來測量，如第四題測量深穀。
曆史意義:
《海島算經》是中國最早的測量數學專著，使中國在測量學方麵領先於西方約一千年。它為中國古代高度發達的地圖學奠定了數學基礎，書中的重差術更是測量學曆史上的領先創造 。此外，該書在唐代傳入朝鮮、日本等國，對周邊國家的數學發展也產生了一定影響。
後世研究:
南北朝數學家祖衝之曾為《九章重差圖》作注。 唐初李淳風等注釋《算經十書》，《海島算經》是其中之一，且規定其學習期限為三年，可見該書在唐代受重視程度。後世還有諸多數學家如南宋秦九韶、楊輝，元代朱世傑，清戴震、李潢、沈欽裴等都對其進行過研究或注釋。