“我給你介紹一個祖暅原理。”
迴到內室，馬俍便於桌前坐下，拿出昨晚為了給兩女解說而幻化的紙筆。
“古時候有個數學家也是天文學家叫祖衝之，他有個兒子叫祖暅，兩父子便是計算球體積的祖師爺，他們發明的這個原理後來便叫祖暅原理。”
馬俍在紙上寫下祖氏父子名字，秦眉不感興趣，便去收拾房間，整理新床鋪了，劉伶倒是很有興致，陪玉河一起學習。
“這個原理的內容是‘冪勢既同，則積不容異’。‘冪’是截麵積，‘勢’是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截麵積相同，則體積相等。”
馬俍順手拿出抽屜內昨晚用於演示的一疊硬幣，疊成各種模樣的柱形：“比如這個硬幣疊成的圓柱，雖然形狀不一樣，但是在每一層始終是等大的那個硬幣，總體積便等於所有硬幣的體積之和，始終不變。這就是冪勢相同，體積也相同。”
“嗯，明白。”玉河點頭應道，劉伶亦微笑同意。
“如果我們畫一個半徑為r的半球，”馬俍在紙上作圖，畫了一個底麵朝下的半球，“再以球底麵為底，畫一個外切圓柱體，然後再畫圓柱體的內切正圓錐。”
馬俍以圓柱體上底麵為底，下底麵圓心為頂，作了一個正圓錐。
“你已經自學了簡單的三角函數，我們取底麵高h處作圖，設圓半徑與底麵夾角為θ，則可知該高度球的截麵積為π(rcosθ)?2，”馬俍繼續在圖上畫出一根輔助線，“現在我們作出該高度圓錐麵的半徑，和高度h恰好構成一個45?o角。於是我們可以知道該高度圓錐麵積為π(rsinθ)?2，而在同一高度，圓柱的截麵積是πr?2，於是得到，π(rcosθ)?2=πr?2-π(rsinθ)?2，說明等高處，球的截麵積等於圓柱的截麵積減去圓錐的截麵積。
“由祖暅原理，假設我們已經知道圓錐的體積，那麽半球的體積便等於圓柱的體積減去圓錐的體積，進一步便可求出球的體積。”
“終於明白了，謝謝殿下！”玉河點頭，臉上露出輕鬆的愜意。
“三角函數是什麽？”劉伶表示沒懂。
“這個書裏有。”玉河舉起《初等數學》塞到劉伶手中，“等下我們可以討論。”
“好的，謝謝妹妹。”劉伶微微笑道。
“不客氣。”玉河對這個美麗的姐姐頓生好感。
“還有問題嗎？”馬俍見兩人對上了眼，亦很高興。
“還有還有！”玉河連忙說道，“關於這個正圓錐體體積，我是這樣處理的，我將半徑、高與母線所構成的直角三角形，繞高旋轉一周，則隻需要用這個三角形麵積乘以某一點的路徑長度就可以求出體積。隻是這個點找不好。”
“重心。三條中線的交點，因其與均勻等厚三角形薄板的物理重心重合而得名，進一步說，這個點就是代替整個三角形麵旋轉的那一點。所以隻需算出它的旋轉周長，就可以計算出圓錐體的體積。”馬俍解釋道。
“物理重心又是什麽？”玉河問道。
“這是物理學內容，你先把數學了解一遍，我再給你教材。”
“好，這個我可以自己再算。那麽如果是斜圓錐體呢？體積如何處理？”玉河追問。
“這個的話，我們就要用到微分思想了，相當於把圓錐體平行於底麵截成無數個很薄的硬幣，然後把所有的硬幣體積相加就可以了。在初等數學中，我們可以借助數列求和公式求解，而到了高等數學，可以定積分求解。證明過程我可以先寫給你看，也許過兩天你就看懂了。”
“好吧，”玉河點點頭，“那麽如果是不規則曲線繞軸旋轉形成的體積呢？怎麽計算？”
馬俍有些為難地撓撓頭，這家夥實在太難纏了：“原則上，如果是可以用函數表達的曲線，還是可以用定積分求解，如果是完全無規則，則隻有靠計算機讀取傳感數據處理了。”
“計算機？”玉河眼睛一亮，“這是什麽好東西？”
馬俍無力地指了指牆角一個電腦模型：“那就是一台小型的計算機模型，至於其具體內容隻有改天再說了。”
玉河乍了乍舌，見好就收：“謝謝殿下。玉河還是先和伶姐姐一起自學吧。”
夜色已深，秦眉對數學不感興趣，獨自上床休息了，劉伶和玉河則興致勃勃開始討論。
馬俍難得脫身，便又迴到了靜室，開始修煉。
經過昨晚的折騰，馬俍現在全身空虛，神力海綿體更是幹燥得仿佛要著火。
眼觀鼻，鼻觀心，心內無物，馬俍入靜。
神識散開，很快便找到了三座神像，功德線比昨天仿佛又有了些許增多，在馬俍指揮下，眾多功德線一頭紮入炎都城及其附近大地，一頭匯聚到自己身上，神像是其中轉站。
炎都城的神力金光海洋似乎比昨日更加充盈，估計是馬俍原本的神丹碎裂之後，融入了地下的緣故。
“聚！”馬俍低喝一聲。
金光點點匯聚，很快便順著眾多的功德線聚集成河，朝著馬俍而來，雖然因為缺少神丹的漩渦吸聚效應使得其速度比昨天遜色不少，但比起一個月前，那自不可同日而語。
神力海綿體比起神丹碎裂前明顯膨脹了不少，在密集的神力金光流的灌溉下，足足花了一個時辰才勉強將身體神力恢複飽滿。
馬俍長舒了一口氣。有了上次的經驗，要想凝聚神丹，還得先凝結一個氣核，猶如雨滴的形成必須有一個凝結核一樣。
稍作休息之後，心意帶領氣脈在周身輪轉，很快丹田便冒出一股熱流擴散全身，暖洋洋的很是舒服，四肢百核仿佛有著用不完的力氣。
“收！”馬俍輕喝一聲。各股熱流便逆向返迴丹田之內，凝聚成團，仿佛一個小小的會發熱發光的丹丸，懸浮在體內。
“凝！”馬俍開始神丹凝聚。
全身的神力金光在馬俍意念引導之下，迅速朝丹田湧去，很快便在丹田氣核表麵凝聚，隨著壓力增大，逐漸滲透到氣核之內，與氣核合二為一。
又是一個時辰過去，馬俍終於鬆了一口氣。
內視丹田，此時一個小小的金色小球正懸浮其內，純淨無暇，煞是可愛。
迴到內室，馬俍便於桌前坐下，拿出昨晚為了給兩女解說而幻化的紙筆。
“古時候有個數學家也是天文學家叫祖衝之，他有個兒子叫祖暅，兩父子便是計算球體積的祖師爺，他們發明的這個原理後來便叫祖暅原理。”
馬俍在紙上寫下祖氏父子名字，秦眉不感興趣，便去收拾房間，整理新床鋪了，劉伶倒是很有興致，陪玉河一起學習。
“這個原理的內容是‘冪勢既同，則積不容異’。‘冪’是截麵積，‘勢’是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截麵積相同，則體積相等。”
馬俍順手拿出抽屜內昨晚用於演示的一疊硬幣，疊成各種模樣的柱形：“比如這個硬幣疊成的圓柱，雖然形狀不一樣，但是在每一層始終是等大的那個硬幣，總體積便等於所有硬幣的體積之和，始終不變。這就是冪勢相同，體積也相同。”
“嗯，明白。”玉河點頭應道，劉伶亦微笑同意。
“如果我們畫一個半徑為r的半球，”馬俍在紙上作圖，畫了一個底麵朝下的半球，“再以球底麵為底，畫一個外切圓柱體，然後再畫圓柱體的內切正圓錐。”
馬俍以圓柱體上底麵為底，下底麵圓心為頂，作了一個正圓錐。
“你已經自學了簡單的三角函數，我們取底麵高h處作圖，設圓半徑與底麵夾角為θ，則可知該高度球的截麵積為π(rcosθ)?2，”馬俍繼續在圖上畫出一根輔助線，“現在我們作出該高度圓錐麵的半徑，和高度h恰好構成一個45?o角。於是我們可以知道該高度圓錐麵積為π(rsinθ)?2，而在同一高度，圓柱的截麵積是πr?2，於是得到，π(rcosθ)?2=πr?2-π(rsinθ)?2，說明等高處，球的截麵積等於圓柱的截麵積減去圓錐的截麵積。
“由祖暅原理，假設我們已經知道圓錐的體積，那麽半球的體積便等於圓柱的體積減去圓錐的體積，進一步便可求出球的體積。”
“終於明白了，謝謝殿下！”玉河點頭，臉上露出輕鬆的愜意。
“三角函數是什麽？”劉伶表示沒懂。
“這個書裏有。”玉河舉起《初等數學》塞到劉伶手中，“等下我們可以討論。”
“好的，謝謝妹妹。”劉伶微微笑道。
“不客氣。”玉河對這個美麗的姐姐頓生好感。
“還有問題嗎？”馬俍見兩人對上了眼，亦很高興。
“還有還有！”玉河連忙說道，“關於這個正圓錐體體積，我是這樣處理的，我將半徑、高與母線所構成的直角三角形，繞高旋轉一周，則隻需要用這個三角形麵積乘以某一點的路徑長度就可以求出體積。隻是這個點找不好。”
“重心。三條中線的交點，因其與均勻等厚三角形薄板的物理重心重合而得名，進一步說，這個點就是代替整個三角形麵旋轉的那一點。所以隻需算出它的旋轉周長，就可以計算出圓錐體的體積。”馬俍解釋道。
“物理重心又是什麽？”玉河問道。
“這是物理學內容，你先把數學了解一遍，我再給你教材。”
“好，這個我可以自己再算。那麽如果是斜圓錐體呢？體積如何處理？”玉河追問。
“這個的話，我們就要用到微分思想了，相當於把圓錐體平行於底麵截成無數個很薄的硬幣，然後把所有的硬幣體積相加就可以了。在初等數學中，我們可以借助數列求和公式求解，而到了高等數學，可以定積分求解。證明過程我可以先寫給你看，也許過兩天你就看懂了。”
“好吧，”玉河點點頭，“那麽如果是不規則曲線繞軸旋轉形成的體積呢？怎麽計算？”
馬俍有些為難地撓撓頭，這家夥實在太難纏了：“原則上，如果是可以用函數表達的曲線，還是可以用定積分求解，如果是完全無規則，則隻有靠計算機讀取傳感數據處理了。”
“計算機？”玉河眼睛一亮，“這是什麽好東西？”
馬俍無力地指了指牆角一個電腦模型：“那就是一台小型的計算機模型，至於其具體內容隻有改天再說了。”
玉河乍了乍舌，見好就收：“謝謝殿下。玉河還是先和伶姐姐一起自學吧。”
夜色已深，秦眉對數學不感興趣，獨自上床休息了，劉伶和玉河則興致勃勃開始討論。
馬俍難得脫身，便又迴到了靜室，開始修煉。
經過昨晚的折騰，馬俍現在全身空虛，神力海綿體更是幹燥得仿佛要著火。
眼觀鼻，鼻觀心，心內無物，馬俍入靜。
神識散開，很快便找到了三座神像，功德線比昨天仿佛又有了些許增多，在馬俍指揮下，眾多功德線一頭紮入炎都城及其附近大地，一頭匯聚到自己身上，神像是其中轉站。
炎都城的神力金光海洋似乎比昨日更加充盈，估計是馬俍原本的神丹碎裂之後，融入了地下的緣故。
“聚！”馬俍低喝一聲。
金光點點匯聚，很快便順著眾多的功德線聚集成河，朝著馬俍而來，雖然因為缺少神丹的漩渦吸聚效應使得其速度比昨天遜色不少，但比起一個月前，那自不可同日而語。
神力海綿體比起神丹碎裂前明顯膨脹了不少，在密集的神力金光流的灌溉下，足足花了一個時辰才勉強將身體神力恢複飽滿。
馬俍長舒了一口氣。有了上次的經驗，要想凝聚神丹，還得先凝結一個氣核，猶如雨滴的形成必須有一個凝結核一樣。
稍作休息之後，心意帶領氣脈在周身輪轉，很快丹田便冒出一股熱流擴散全身，暖洋洋的很是舒服，四肢百核仿佛有著用不完的力氣。
“收！”馬俍輕喝一聲。各股熱流便逆向返迴丹田之內，凝聚成團，仿佛一個小小的會發熱發光的丹丸，懸浮在體內。
“凝！”馬俍開始神丹凝聚。
全身的神力金光在馬俍意念引導之下，迅速朝丹田湧去，很快便在丹田氣核表麵凝聚，隨著壓力增大，逐漸滲透到氣核之內，與氣核合二為一。
又是一個時辰過去，馬俍終於鬆了一口氣。
內視丹田，此時一個小小的金色小球正懸浮其內，純淨無暇，煞是可愛。