第 210 章 三角換元法之探
又一日，學堂之內，戴浩文再開新篇。
戴浩文緩聲道：“今日為師要與爾等講授另一奇妙之法，名曰三角換元法。”
眾學子皆屏氣凝神，靜待下文。
李華拱手問道：“先生，此三角換元法又是何意？”
戴浩文微笑答道：“且看，若有方程 x2 + y2 = 1，吾等可設 x = cosθ，y = sinθ，此即為三角換元。”
張明麵露疑惑：“先生，為何如此設之？”
戴浩文耐心解釋道：“諸君可知三角函數之特性？cos2θ + sin2θ = 1，恰與吾等所給方程相符。如此設之，可使求解之路徑明晰。”
王強問道：“那若方程為 x2 + 4y2 = 4，又當如何？”
戴浩文道：“此時，可設 x = 2cosθ，y = sinθ。如此，原方程便化為 4cos2θ + 4sin2θ = 4，正合題意。”
趙婷輕聲道：“先生，此設頗有巧妙之處。”
戴浩文點頭道：“然也。再看若有式子 √(1 - x2)，吾等設 x = sinθ，則此式可化為 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”
李華思索片刻道：“先生，此換元法於解題有何妙處？”
戴浩文笑曰：“其妙處眾多。若求函數之最值，或化簡複雜之式，皆能大顯身手。譬如，求函數 x + √(1 - x2) 之值域。”
眾學子紛紛低頭思索。
戴浩文見狀，提示道：“已設 x = sinθ，代入可得 sinθ + cosθ 。諸君可還記得兩角和之公式？”
張明恍然道：“先生，吾記得，sinθ + cosθ = √2sin(θ + π\/4) 。”
戴浩文讚道：“善！由此可知其值域為 [-√2, √2] 。”
王強又問：“先生，若式中含分式，又當如何？”
戴浩文道：“莫急，若有式子 (1 - x2) \/ (1 + x2) ，設 x = tanθ ，則可化簡求解。”
趙婷道：“先生，此中計算恐有繁難之處。”
戴浩文道：“不錯，然隻要步步為營，細心推之，必能解出。”
說罷，戴浩文在黑板上詳細演示計算過程。
......
如此講學許久，學子們對三角換元法初窺門徑。
戴浩文又道：“今留數題，爾等課後細細思索。若有不明，來日再論。”
學子們領命而去，皆欲深研此奇妙之法。
數日之後，眾學子再次齊聚學堂。
戴浩文掃視眾人，緩聲問道：“前幾日所授三角換元法，爾等可有研習？”
學子們紛紛點頭，李華率先說道：“先生，學生課後反複思索，略有心得，然仍有諸多不明之處。”
戴浩文微笑道：“但說無妨。”
李華拱手道：“若方程為 9x2 + 16y2 = 144，該如何進行三角換元？”
戴浩文答道：“可設 x = 4cosθ，y = 3sinθ。如此一來，原方程化為 16cos2θ + 9sin2θ = 144，與原式契合。”
王強接著問道：“先生，那對於形如 √(x2 - 2x + 1) 這樣的式子，又當如何三角換元？”
戴浩文耐心解釋道：“先將其化為 √((x - 1)2) = |x - 1| ，再設 x - 1 = t ，若要三角換元，可令 t = sinθ 。”
趙婷疑惑道：“先生，為何有時設 x = cosθ ，有時又設 x = sinθ 呢？”
戴浩文道：“此需視具體問題而定。若方程或式子之形式與 cosθ 或 sinθ 之特性相關，便按需設之。”
張明道：“先生，三角換元法在求定積分時可有應用？”
戴浩文點頭道：“自然有。譬如求∫(0 到 1) √(1 - x2) dx ，設 x = sinθ ，則可將其化為三角函數之積分，求解更為簡便。”
說罷，戴浩文在黑板上詳細推演計算過程。
“諸位且看，如此換元之後，積分上下限亦需相應變換。”
學子們目不轉睛，仔細聆聽。
王強道：“先生，那若遇複雜之複合函數，可否用三角換元？”
戴浩文笑曰：“隻要能尋得恰當之替換關係，未嚐不可。就如函數 f(x) = √(2 - x - x2) ，先將其內部配方，再進行三角換元。”
戴浩文邊講邊寫，學子們不時點頭，似有所悟。
李華又問：“先生，三角換元法與均值換元法可有相通之處？”
戴浩文沉思片刻，道：“二者皆為換元之法，旨在簡化問題。均值換元常以均值為橋梁，而三角換元則借助三角函數之特性。然具體運用，需依題而定。”
......
戴浩文滔滔不絕，講解不停，學子們或問或思，氣氛熱烈。
不知不覺，日已西斜。
戴浩文輕咳一聲，道：“今日所講，爾等迴去需多加溫習。數學之道，在於勤思多練，方能融會貫通。”
學子們躬身行禮：“謹遵先生教誨。”
眾人散去，然對三角換元法之探索，方興未艾。
又過數日，課堂之上。
戴浩文道：“今來考查一番爾等對三角換元法之掌握。”
遂出一題：求函數 y = x + √(2 - x2) 的最大值。
學子們紛紛提筆計算。
片刻後，趙婷起身道：“先生，學生設 x = √2 cosθ ，解得最大值為√2 。”
戴浩文微微頷首：“不錯。那再看此題，若 x、y 滿足 x2 + y2 - 2x + 4y = 0 ，求 x - 2y 的最大值。”
眾學子再度陷入沉思。
張明道：“先生，可否設 x - 2y = z ，將其轉化為直線與圓的位置關係，再用三角換元求解？”
戴浩文撫掌大笑：“妙哉！果能舉一反三。”
就這樣，在戴浩文的悉心教導下，學子們在三角換元法的海洋中不斷探索，學問日益精進。
......
時光荏苒，學子們在數學的世界裏越走越遠，而三角換元法也成為他們攻克難題的有力武器。
又一日，學堂之內，戴浩文再開新篇。
戴浩文緩聲道：“今日為師要與爾等講授另一奇妙之法，名曰三角換元法。”
眾學子皆屏氣凝神，靜待下文。
李華拱手問道：“先生，此三角換元法又是何意？”
戴浩文微笑答道：“且看，若有方程 x2 + y2 = 1，吾等可設 x = cosθ，y = sinθ，此即為三角換元。”
張明麵露疑惑：“先生，為何如此設之？”
戴浩文耐心解釋道：“諸君可知三角函數之特性？cos2θ + sin2θ = 1，恰與吾等所給方程相符。如此設之，可使求解之路徑明晰。”
王強問道：“那若方程為 x2 + 4y2 = 4，又當如何？”
戴浩文道：“此時，可設 x = 2cosθ，y = sinθ。如此，原方程便化為 4cos2θ + 4sin2θ = 4，正合題意。”
趙婷輕聲道：“先生，此設頗有巧妙之處。”
戴浩文點頭道：“然也。再看若有式子 √(1 - x2)，吾等設 x = sinθ，則此式可化為 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”
李華思索片刻道：“先生，此換元法於解題有何妙處？”
戴浩文笑曰：“其妙處眾多。若求函數之最值，或化簡複雜之式，皆能大顯身手。譬如，求函數 x + √(1 - x2) 之值域。”
眾學子紛紛低頭思索。
戴浩文見狀，提示道：“已設 x = sinθ，代入可得 sinθ + cosθ 。諸君可還記得兩角和之公式？”
張明恍然道：“先生，吾記得，sinθ + cosθ = √2sin(θ + π\/4) 。”
戴浩文讚道：“善！由此可知其值域為 [-√2, √2] 。”
王強又問：“先生，若式中含分式，又當如何？”
戴浩文道：“莫急，若有式子 (1 - x2) \/ (1 + x2) ，設 x = tanθ ，則可化簡求解。”
趙婷道：“先生，此中計算恐有繁難之處。”
戴浩文道：“不錯，然隻要步步為營，細心推之，必能解出。”
說罷，戴浩文在黑板上詳細演示計算過程。
......
如此講學許久，學子們對三角換元法初窺門徑。
戴浩文又道：“今留數題，爾等課後細細思索。若有不明，來日再論。”
學子們領命而去，皆欲深研此奇妙之法。
數日之後，眾學子再次齊聚學堂。
戴浩文掃視眾人，緩聲問道：“前幾日所授三角換元法，爾等可有研習？”
學子們紛紛點頭，李華率先說道：“先生，學生課後反複思索，略有心得，然仍有諸多不明之處。”
戴浩文微笑道：“但說無妨。”
李華拱手道：“若方程為 9x2 + 16y2 = 144，該如何進行三角換元？”
戴浩文答道：“可設 x = 4cosθ，y = 3sinθ。如此一來，原方程化為 16cos2θ + 9sin2θ = 144，與原式契合。”
王強接著問道：“先生，那對於形如 √(x2 - 2x + 1) 這樣的式子，又當如何三角換元？”
戴浩文耐心解釋道：“先將其化為 √((x - 1)2) = |x - 1| ，再設 x - 1 = t ，若要三角換元，可令 t = sinθ 。”
趙婷疑惑道：“先生，為何有時設 x = cosθ ，有時又設 x = sinθ 呢？”
戴浩文道：“此需視具體問題而定。若方程或式子之形式與 cosθ 或 sinθ 之特性相關，便按需設之。”
張明道：“先生，三角換元法在求定積分時可有應用？”
戴浩文點頭道：“自然有。譬如求∫(0 到 1) √(1 - x2) dx ，設 x = sinθ ，則可將其化為三角函數之積分，求解更為簡便。”
說罷，戴浩文在黑板上詳細推演計算過程。
“諸位且看，如此換元之後，積分上下限亦需相應變換。”
學子們目不轉睛，仔細聆聽。
王強道：“先生，那若遇複雜之複合函數，可否用三角換元？”
戴浩文笑曰：“隻要能尋得恰當之替換關係，未嚐不可。就如函數 f(x) = √(2 - x - x2) ，先將其內部配方，再進行三角換元。”
戴浩文邊講邊寫，學子們不時點頭，似有所悟。
李華又問：“先生，三角換元法與均值換元法可有相通之處？”
戴浩文沉思片刻，道：“二者皆為換元之法，旨在簡化問題。均值換元常以均值為橋梁，而三角換元則借助三角函數之特性。然具體運用，需依題而定。”
......
戴浩文滔滔不絕，講解不停，學子們或問或思，氣氛熱烈。
不知不覺，日已西斜。
戴浩文輕咳一聲，道：“今日所講，爾等迴去需多加溫習。數學之道，在於勤思多練，方能融會貫通。”
學子們躬身行禮：“謹遵先生教誨。”
眾人散去，然對三角換元法之探索，方興未艾。
又過數日，課堂之上。
戴浩文道：“今來考查一番爾等對三角換元法之掌握。”
遂出一題：求函數 y = x + √(2 - x2) 的最大值。
學子們紛紛提筆計算。
片刻後，趙婷起身道：“先生，學生設 x = √2 cosθ ，解得最大值為√2 。”
戴浩文微微頷首：“不錯。那再看此題，若 x、y 滿足 x2 + y2 - 2x + 4y = 0 ，求 x - 2y 的最大值。”
眾學子再度陷入沉思。
張明道：“先生，可否設 x - 2y = z ，將其轉化為直線與圓的位置關係，再用三角換元求解？”
戴浩文撫掌大笑：“妙哉！果能舉一反三。”
就這樣，在戴浩文的悉心教導下，學子們在三角換元法的海洋中不斷探索，學問日益精進。
......
時光荏苒，學子們在數學的世界裏越走越遠，而三角換元法也成為他們攻克難題的有力武器。