第 205 章 試卷講評與總結
考試結束後的幾日，戴浩文在書房中仔細批改完了學子們的絕對值檢測試卷。他的案頭堆滿了試卷，表情時而凝重，時而欣慰。
終於，成績統計出來了。李華，85 分；張明，78 分；王強，65 分；趙婷，90 分……戴浩文將每個學子的成績都一一記錄下來。
待學子們都在講堂坐定，戴浩文手持試卷，開始了詳盡的講解。
“我們先來看第一題，若 |x| = 4 ，則 x = （ ±4 ）。這是絕對值的基本定義，x 距離 0 的距離為 4，所以 x 有正負兩種可能。大部分同學都答對了，但還是有個別同學粗心，隻寫了 4 ，忽略了 -4 。”
“第二題，計算 | - 5 | + | 3 | = （ 8 ）。這道題就是求 -5 和 3 的絕對值之和，|-5| = 5 ，|3| = 3 ，5 + 3 = 8 。做錯的同學要好好反思是不是概念沒掌握清楚。”
“第三題，已知 | a - 3 | = 0 ，則 a = （ 3 ）。因為絕對值為 0 時，裏麵的式子也為 0 ，所以 a - 3 = 0 ，得出 a = 3 。這道題錯的同學要迴去再好好複習一下絕對值為 0 的特殊情況。”
“第四題，若 | x + 2 | = 5 ，且 x ＜ 0 ，則 x = （ -7 ）。當 | x + 2 | = 5 時，x + 2 = ±5 ，即 x = 3 或者 x = -7 ，又因為 x ＜ 0 ，所以 x = -7 。這道題做錯的同學，要注意條件的綜合運用。”
“第五題，比較大小：| - 7 | （ ＜ ） | - 9 | 。因為 | - 7 | = 7 ，| - 9 | = 9 ，7 ＜ 9 ，所以 | - 7 | ＜ | - 9 | 。這道題比較簡單，做錯的同學要加強對絕對值大小比較的練習。”
“第六題，若 | 2x - 1 | = 3 ，求 x 的值。當 2x - 1 = 3 時，2x = 4 ，x = 2 ；當 2x - 1 = -3 時，2x = -2 ，x = -1 。同學們要記住絕對值方程有兩種情況。”
“第七題，當 x 為何值時，| x - 1 | + | x - 2 | 取得最小值，最小值是多少？這道題需要分段討論，當 x ＜ 1 時，原式 = 1 - x + 2 - x = 3 - 2x ，此時無最小值；當 1 ≤ x ≤ 2 時，原式 = x - 1 + 2 - x = 1 ，最小值為 1；當 x ＞ 2 時，原式 = x - 1 + x - 2 = 2x - 3 ，無最小值。所以當 1 ≤ x ≤ 2 時，取得最小值 1 。這道題錯誤率較高，大家要認真理解分段討論的思路。”
“第八題，已知 | a | = 5 ，| b | = 2 ，且 a ＜ b ，求 a + b 的值。因為 | a | = 5 ，所以 a = ±5 ；因為 | b | = 2 ，所以 b = ±2 。又因為 a ＜ b ，所以 a = -5 ，b = 2 時，a + b = -3 ；a = -5 ，b = -2 時，a + b = -7 。這道題要考慮到絕對值的多種可能性以及大小關係的綜合判斷。”
“第九題，若 | x - 3 | ＜ 2 ，求 x 的取值範圍。則 -2 ＜ x - 3 ＜ 2 ，解得 1 ＜ x ＜ 5 。這道題是不等式與絕對值的結合，同學們要注意不等式的運算規則。”
“第十題，解方程 | 3x + 2 | = | 2x - 1 | 。當 3x + 2 = 2x - 1 時，x = -3 ；當 3x + 2 = -(2x - 1) 時，3x + 2 = -2x + 1 ，5x = -1 ，x = -1\/5 。這道題需要分情況討論，不少同學遺漏了一種情況。”
“第十一題，若 | x + 1 | - | x - 3 | = 4 ，求 x 的取值範圍。當 x ＜ -1 時，-(x + 1) - (3 - x) = -4 ，不符合；當 -1 ≤ x ＜ 3 時，x + 1 - (3 - x) = 2x - 2 ，令 2x - 2 = 4 ，解得 x = 3 ，矛盾；當 x ≥ 3 時，x + 1 - (x - 3) = 4 ，恆成立。所以 x ≥ 3 。這道題難度較大，需要大家有清晰的思路和嚴謹的推理。”
“第十二題，已知 | a - 1 | + | b + 2 | + | c - 3 | = 0 ，求 a、b、c 的值。因為絕對值都是非負的，要使它們的和為 0 ，則每個絕對值都為 0 ，所以 a - 1 = 0 ，b + 2 = 0 ，c - 3 = 0 ，解得 a = 1 ，b = -2 ，c = 3 。這是絕對值非負性的重要應用，做錯的同學要重點複習。”
“第十三題，若關於 x 的方程 | 4x - 5 | = m 無解，求 m 的取值範圍。因為絕對值總是非負的，所以當 m ＜ 0 時，方程無解。這道題考查了絕對值方程有解與無解的條件。”
“第十四題，若 | 2x - 3 | ＞ 5 ，求 x 的取值範圍。則 2x - 3 ＞ 5 或 2x - 3 ＜ -5 ，解得 x ＞ 4 或 x ＜ -1 。這道題也是不等式與絕對值的綜合，要注意解不等式時的方向。”
“第十五題，已知數軸上點 a 對應的數為 -2 ，點 b 對應的數為 x ，且 | x + 2 | = 7 ，求 a、b 兩點間的距離。當 x + 2 = 7 時，x = 5 ，距離為 7 ；當 x + 2 = -7 時，x = -9 ，距離為 7 。這道題要結合數軸和絕對值的概念來求解。”
“第十六題，若 | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | = 6 ，求 x 的值。我們分情況討論，當 x ＜ 1 時，1 - x + 2 - x + 3 - x = 6 - 3x = 6 ，解得 x = 0 ；當 1 ≤ x ＜ 2 時，x - 1 + 2 - x + 3 - x = 4 - x = 6 ，x = -2 ，不符合；當 2 ≤ x ＜ 3 時，x - 1 + x - 2 + 3 - x = x = 6 ，不符合；當 x ≥ 3 時，x - 1 + x - 2 + x - 3 = 3x - 6 = 6 ，解得 x = 4 。這道題需要同學們有足夠的耐心和細致的計算。”
“第十七題，已知 | a | = 3 ，| b | = 5 ，且 | a + b | = - (a + b) ，求 a - b 的值。因為 | a + b | = - (a + b) ，所以 a + b ≤ 0 。又因為 | a | = 3 ，| b | = 5 ，所以 a = ±3 ，b = -5 。當 a = 3 ，b = -5 時，a - b = 8 ；當 a = -3 ，b = -5 時，a - b = 2 。這道題綜合了絕對值、不等式和代數運算，有一定難度。”
“第十八題，若 0 ＜ x ＜ 3 ，化簡 | x - 3 | + | x | 。因為 0 ＜ x ＜ 3 ，所以 x - 3 ＜ 0 ，則 | x - 3 | = 3 - x ，| x | = x ，所以原式 = 3 - x + x = 3 。這道題考查了絕對值的化簡，要根據 x 的取值範圍判斷絕對值內式子的正負。”
“第十九題，若 | x - 2 | + | 2x - 1 | ＜ 3 ，求 x 的取值範圍。當 x ＜ 1\/2 時，2 - x + 1 - 2x ＜ 3 ，解得 0 ＜ x ＜ 1\/2 ；當 1\/2 ≤ x ＜ 2 時，2 - x + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 1\/2 ≤ x ＜ 2 ；當 x ≥ 2 時，x - 2 + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 2 ≤ x ＜ 2 ，矛盾。綜上，0 ＜ x ＜ 2 。這道題的分段討論比較複雜，同學們要仔細分析。”
“第二十題，已知 | x + 1 | + | x - 2 | = 5 ，且 -2 ＜ x ＜ 3 ，求 x 的值。當 -2 ＜ x ＜ -1 時，-(x + 1) + 2 - x = 5 ，解得 x = -2 ，不符合；當 -1 ≤ x ＜ 2 時，x + 1 + 2 - x = 3 ，不符合；當 2 ≤ x ＜ 3 時，x + 1 + x - 2 = 5 ，2x = 6 ，解得 x = 3 ，不符合。所以此題在給定範圍內無解。這道題需要同學們全麵考慮各種情況，不能遺漏。”
講解完所有題目後，戴浩文看著學子們，語重心長地說道：“這次檢測，反映出大家對絕對值的知識有了一定的掌握，但也暴露出不少問題。有的同學基礎知識不紮實，有的同學在解題時不夠細心，有的同學麵對複雜問題缺乏清晰的思路。希望大家通過這次檢測，總結經驗教訓，查缺補漏，在今後的學習中更加努力。絕對值隻是我們數學學習中的一小部分，未來還有更多的知識等待著我們去探索和掌握。隻要大家保持勤奮和專注，就一定能夠在數學的道路上不斷進步。”
學子們聽著戴浩文的話，若有所思，暗暗下定決心要更加努力學習數學。
考試結束後的幾日，戴浩文在書房中仔細批改完了學子們的絕對值檢測試卷。他的案頭堆滿了試卷，表情時而凝重，時而欣慰。
終於，成績統計出來了。李華，85 分；張明，78 分；王強，65 分；趙婷，90 分……戴浩文將每個學子的成績都一一記錄下來。
待學子們都在講堂坐定，戴浩文手持試卷，開始了詳盡的講解。
“我們先來看第一題，若 |x| = 4 ，則 x = （ ±4 ）。這是絕對值的基本定義，x 距離 0 的距離為 4，所以 x 有正負兩種可能。大部分同學都答對了，但還是有個別同學粗心，隻寫了 4 ，忽略了 -4 。”
“第二題，計算 | - 5 | + | 3 | = （ 8 ）。這道題就是求 -5 和 3 的絕對值之和，|-5| = 5 ，|3| = 3 ，5 + 3 = 8 。做錯的同學要好好反思是不是概念沒掌握清楚。”
“第三題，已知 | a - 3 | = 0 ，則 a = （ 3 ）。因為絕對值為 0 時，裏麵的式子也為 0 ，所以 a - 3 = 0 ，得出 a = 3 。這道題錯的同學要迴去再好好複習一下絕對值為 0 的特殊情況。”
“第四題，若 | x + 2 | = 5 ，且 x ＜ 0 ，則 x = （ -7 ）。當 | x + 2 | = 5 時，x + 2 = ±5 ，即 x = 3 或者 x = -7 ，又因為 x ＜ 0 ，所以 x = -7 。這道題做錯的同學，要注意條件的綜合運用。”
“第五題，比較大小：| - 7 | （ ＜ ） | - 9 | 。因為 | - 7 | = 7 ，| - 9 | = 9 ，7 ＜ 9 ，所以 | - 7 | ＜ | - 9 | 。這道題比較簡單，做錯的同學要加強對絕對值大小比較的練習。”
“第六題，若 | 2x - 1 | = 3 ，求 x 的值。當 2x - 1 = 3 時，2x = 4 ，x = 2 ；當 2x - 1 = -3 時，2x = -2 ，x = -1 。同學們要記住絕對值方程有兩種情況。”
“第七題，當 x 為何值時，| x - 1 | + | x - 2 | 取得最小值，最小值是多少？這道題需要分段討論，當 x ＜ 1 時，原式 = 1 - x + 2 - x = 3 - 2x ，此時無最小值；當 1 ≤ x ≤ 2 時，原式 = x - 1 + 2 - x = 1 ，最小值為 1；當 x ＞ 2 時，原式 = x - 1 + x - 2 = 2x - 3 ，無最小值。所以當 1 ≤ x ≤ 2 時，取得最小值 1 。這道題錯誤率較高，大家要認真理解分段討論的思路。”
“第八題，已知 | a | = 5 ，| b | = 2 ，且 a ＜ b ，求 a + b 的值。因為 | a | = 5 ，所以 a = ±5 ；因為 | b | = 2 ，所以 b = ±2 。又因為 a ＜ b ，所以 a = -5 ，b = 2 時，a + b = -3 ；a = -5 ，b = -2 時，a + b = -7 。這道題要考慮到絕對值的多種可能性以及大小關係的綜合判斷。”
“第九題，若 | x - 3 | ＜ 2 ，求 x 的取值範圍。則 -2 ＜ x - 3 ＜ 2 ，解得 1 ＜ x ＜ 5 。這道題是不等式與絕對值的結合，同學們要注意不等式的運算規則。”
“第十題，解方程 | 3x + 2 | = | 2x - 1 | 。當 3x + 2 = 2x - 1 時，x = -3 ；當 3x + 2 = -(2x - 1) 時，3x + 2 = -2x + 1 ，5x = -1 ，x = -1\/5 。這道題需要分情況討論，不少同學遺漏了一種情況。”
“第十一題，若 | x + 1 | - | x - 3 | = 4 ，求 x 的取值範圍。當 x ＜ -1 時，-(x + 1) - (3 - x) = -4 ，不符合；當 -1 ≤ x ＜ 3 時，x + 1 - (3 - x) = 2x - 2 ，令 2x - 2 = 4 ，解得 x = 3 ，矛盾；當 x ≥ 3 時，x + 1 - (x - 3) = 4 ，恆成立。所以 x ≥ 3 。這道題難度較大，需要大家有清晰的思路和嚴謹的推理。”
“第十二題，已知 | a - 1 | + | b + 2 | + | c - 3 | = 0 ，求 a、b、c 的值。因為絕對值都是非負的，要使它們的和為 0 ，則每個絕對值都為 0 ，所以 a - 1 = 0 ，b + 2 = 0 ，c - 3 = 0 ，解得 a = 1 ，b = -2 ，c = 3 。這是絕對值非負性的重要應用，做錯的同學要重點複習。”
“第十三題，若關於 x 的方程 | 4x - 5 | = m 無解，求 m 的取值範圍。因為絕對值總是非負的，所以當 m ＜ 0 時，方程無解。這道題考查了絕對值方程有解與無解的條件。”
“第十四題，若 | 2x - 3 | ＞ 5 ，求 x 的取值範圍。則 2x - 3 ＞ 5 或 2x - 3 ＜ -5 ，解得 x ＞ 4 或 x ＜ -1 。這道題也是不等式與絕對值的綜合，要注意解不等式時的方向。”
“第十五題，已知數軸上點 a 對應的數為 -2 ，點 b 對應的數為 x ，且 | x + 2 | = 7 ，求 a、b 兩點間的距離。當 x + 2 = 7 時，x = 5 ，距離為 7 ；當 x + 2 = -7 時，x = -9 ，距離為 7 。這道題要結合數軸和絕對值的概念來求解。”
“第十六題，若 | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | = 6 ，求 x 的值。我們分情況討論，當 x ＜ 1 時，1 - x + 2 - x + 3 - x = 6 - 3x = 6 ，解得 x = 0 ；當 1 ≤ x ＜ 2 時，x - 1 + 2 - x + 3 - x = 4 - x = 6 ，x = -2 ，不符合；當 2 ≤ x ＜ 3 時，x - 1 + x - 2 + 3 - x = x = 6 ，不符合；當 x ≥ 3 時，x - 1 + x - 2 + x - 3 = 3x - 6 = 6 ，解得 x = 4 。這道題需要同學們有足夠的耐心和細致的計算。”
“第十七題，已知 | a | = 3 ，| b | = 5 ，且 | a + b | = - (a + b) ，求 a - b 的值。因為 | a + b | = - (a + b) ，所以 a + b ≤ 0 。又因為 | a | = 3 ，| b | = 5 ，所以 a = ±3 ，b = -5 。當 a = 3 ，b = -5 時，a - b = 8 ；當 a = -3 ，b = -5 時，a - b = 2 。這道題綜合了絕對值、不等式和代數運算，有一定難度。”
“第十八題，若 0 ＜ x ＜ 3 ，化簡 | x - 3 | + | x | 。因為 0 ＜ x ＜ 3 ，所以 x - 3 ＜ 0 ，則 | x - 3 | = 3 - x ，| x | = x ，所以原式 = 3 - x + x = 3 。這道題考查了絕對值的化簡，要根據 x 的取值範圍判斷絕對值內式子的正負。”
“第十九題，若 | x - 2 | + | 2x - 1 | ＜ 3 ，求 x 的取值範圍。當 x ＜ 1\/2 時，2 - x + 1 - 2x ＜ 3 ，解得 0 ＜ x ＜ 1\/2 ；當 1\/2 ≤ x ＜ 2 時，2 - x + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 1\/2 ≤ x ＜ 2 ；當 x ≥ 2 時，x - 2 + 2x - 1 ＜ 3 ，解得 2 ≤ x ＜ 2 ，矛盾。綜上，0 ＜ x ＜ 2 。這道題的分段討論比較複雜，同學們要仔細分析。”
“第二十題，已知 | x + 1 | + | x - 2 | = 5 ，且 -2 ＜ x ＜ 3 ，求 x 的值。當 -2 ＜ x ＜ -1 時，-(x + 1) + 2 - x = 5 ，解得 x = -2 ，不符合；當 -1 ≤ x ＜ 2 時，x + 1 + 2 - x = 3 ，不符合；當 2 ≤ x ＜ 3 時，x + 1 + x - 2 = 5 ，2x = 6 ，解得 x = 3 ，不符合。所以此題在給定範圍內無解。這道題需要同學們全麵考慮各種情況，不能遺漏。”
講解完所有題目後，戴浩文看著學子們，語重心長地說道：“這次檢測，反映出大家對絕對值的知識有了一定的掌握，但也暴露出不少問題。有的同學基礎知識不紮實，有的同學在解題時不夠細心，有的同學麵對複雜問題缺乏清晰的思路。希望大家通過這次檢測，總結經驗教訓，查缺補漏，在今後的學習中更加努力。絕對值隻是我們數學學習中的一小部分，未來還有更多的知識等待著我們去探索和掌握。隻要大家保持勤奮和專注，就一定能夠在數學的道路上不斷進步。”
學子們聽著戴浩文的話，若有所思，暗暗下定決心要更加努力學習數學。