1960年，yves meyer伊夫·梅爾的小波
小波理論允許我們將各種不同類型的信息分解為更簡單的組件，從而使信息分析、處理和儲存變得更加簡單。因此，小波理論被應用在非常廣泛的領域中，包括調和分析應用和計算、數據壓縮、降噪、醫學成像、歸檔、數字電影以及引力波探測等等。
2016年，ligo探測到兩個黑洞合並輻射出的引力波事件，其信號分析正是應用了小波理論。
有趣的是，meyer的工作靈感並不是來自於數學的，而是來自於石油工業。
在1980年代，法國工程師jean morlet想要知道如何更好的利用地震數據來尋找石油。
morlet分析了從石油勘探中收集到的反射數據。
將振動向地麵傳送，並收集迴聲。
這跟蝙蝠利用聲呐的原理一樣。
問題是如何分析反射迴來的數據，並提取關於石油層的有價值的信息。
morlet和物理學家alex grossmann想到了一個分析信號的方法，並且引入了一種新的函數類別，稱為“小波”（wavelets），該函數通過對固定函數進行伸縮和平移而得出。
然而，石油工業對此並不感興趣。
morlet的方法並沒有被采用，但他們的論文依然在1984年的春天發表在科學期刊上。
一年之後，meyer正在巴黎綜合理工學院複印東西的時候，他的同事給他複印了關於morlet的那篇論文。在前往馬賽的火車上，他發現了小波的巨大潛力。
數學家和工程師早就知道一個分析和處理特定類型信息的強大工具：傅裏葉分析。
聲音是用來解釋傅裏葉分析的最佳例子。
例如，音叉發出來的中央a的聲音由一個完美的正弦波代表。這是一個正弦波。它往左和右無限地延伸。由於正弦波和餘弦波相關，因此這也可以看做是餘弦波的表示。
其它的聲音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加複雜。
但是，後來我們發現任何周期性的聲音，事實上是任何類型的周期信號，都可以被分解成不同頻率的正弦波和餘弦波的總和。
函數 f會隨著時間改變，代表了一個聲波。
傅裏葉變換過程會將函數f分解成特定頻率和振幅的正弦波。
傅裏葉變換被表示為頻域上的峰值，峰值的高度顯示了那個頻率下的波的振幅。
傅裏葉分析是個非常有用的工具。
它也可以被用來分析和處理圖像以及其它類型的信息。
但是，它也有缺陷：因為基本的組件——正弦波和餘弦波——是周期性的，傅裏葉分析隻有在重複信號中才能發揮最強大的作用。
但對於那些具有不規則特征（比如峰值等）的非周期信號就不是那麽管用了。
不幸的是，在大部分現實生活的現象中，從說話的聲音到地震數據，都屬於非周期類別。
這個波形來自人類的聲音。它有規律，但不是周期的。
這也是小波理論登場的時候。
顧名思義，小波就是一個“很小的波”。
理論的基礎是一個“母小波”（mother wavelet），是振蕩函數的一小部分。
振蕩的頻率各有不同，同樣地，小波的寬度也各有不同。
但它們之間有著緊密的聯係：頻率越高，寬度越窄。
通過改變母小波的尺度，可以產生女兒小波（daughter wavelets），比如縮小（頻率增高）、放大（頻率降低）或移動。
一個信號，比如我們講話的聲音，就可以用這一簇小波的組合來表示。
這種分解可以使我們能夠捕捉在信號中的重複信息，利用一係列逐漸縮小版本的母小波也使我們可以放大局域的不規則性（比如峰值）。
為了儲存這樣的一個信號分解，你隻需要描述原來母小波的信息，以及不同女兒小波的貢獻。
它們就已經足夠可以把原信號重新構建起來。
前者的變量隻有頻率w，後者則有兩個變量：尺度a（控製小波函數的伸縮）和平移量t（控製小波函數的平移）。
小波理論的最初想法可以追溯到很早以前。
數學家 alfréd haar在一百年前就已經構建了小波的一個版本。
haar的小波有一些漂亮的性質，但也有些不足。
而 meyer在小波理論的發展中起到了關鍵作用，是他構建了小波理論的強有力的堅實數學基礎。
meyer所作出的首個重大貢獻是構造了具有光滑性的正交小波基。
在 morlet構造的小波分析中，meyer小波基中的所有函數都是通過平移和伸縮可以明確指定的單個光滑性“母小波”來生成。
morlet所構造的小波盡管從本質上看非常基礎，但卻相當不可思議。
隨後，stéphane mat和 yves meyer係統地發展了多分辨率分析理論，這是構造小波基的通用框架。
在1980年代後期和1990年代初，信號處理迎來了“小波革命”，小波變換也被應用在了許多基本信號處理的任務上。
例如，壓縮（比如jpeg2000圖像壓縮格式）和去噪，以及更現代的應用（比如壓縮傳感）。
fbi也是利用小波來儲存指紋信息，否則就會占據大量的儲存空間。
此外，meyer的工作還推動了調和分析和偏微分方程式領域的重要理論發展，從證明lipschitz曲線上柯西積分的有界性（由coifman、mcintosh和meyer解決），到發展理解在偏微分方程的非線性效應不可缺少的新工具（比如補償緊致等）。
不僅如此，meyer還在準晶體、奇異積分算子和納維-斯托克斯方程式等課題作出了重要貢獻。
可以說，meyer的工作和洞見不僅推動了純數學和數學分析的應用方麵的發展，還為二者之間架起了卓有成效的溝通橋梁。
stéphane mat稱他為“有遠見的人”，他的工作不屬於任何一個領域（比如純數學、應用數學或計算機科學），它隻能用“神奇”來標簽。
小波理論允許我們將各種不同類型的信息分解為更簡單的組件，從而使信息分析、處理和儲存變得更加簡單。因此，小波理論被應用在非常廣泛的領域中，包括調和分析應用和計算、數據壓縮、降噪、醫學成像、歸檔、數字電影以及引力波探測等等。
2016年，ligo探測到兩個黑洞合並輻射出的引力波事件，其信號分析正是應用了小波理論。
有趣的是，meyer的工作靈感並不是來自於數學的，而是來自於石油工業。
在1980年代，法國工程師jean morlet想要知道如何更好的利用地震數據來尋找石油。
morlet分析了從石油勘探中收集到的反射數據。
將振動向地麵傳送，並收集迴聲。
這跟蝙蝠利用聲呐的原理一樣。
問題是如何分析反射迴來的數據，並提取關於石油層的有價值的信息。
morlet和物理學家alex grossmann想到了一個分析信號的方法，並且引入了一種新的函數類別，稱為“小波”（wavelets），該函數通過對固定函數進行伸縮和平移而得出。
然而，石油工業對此並不感興趣。
morlet的方法並沒有被采用，但他們的論文依然在1984年的春天發表在科學期刊上。
一年之後，meyer正在巴黎綜合理工學院複印東西的時候，他的同事給他複印了關於morlet的那篇論文。在前往馬賽的火車上，他發現了小波的巨大潛力。
數學家和工程師早就知道一個分析和處理特定類型信息的強大工具：傅裏葉分析。
聲音是用來解釋傅裏葉分析的最佳例子。
例如，音叉發出來的中央a的聲音由一個完美的正弦波代表。這是一個正弦波。它往左和右無限地延伸。由於正弦波和餘弦波相關，因此這也可以看做是餘弦波的表示。
其它的聲音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加複雜。
但是，後來我們發現任何周期性的聲音，事實上是任何類型的周期信號，都可以被分解成不同頻率的正弦波和餘弦波的總和。
函數 f會隨著時間改變，代表了一個聲波。
傅裏葉變換過程會將函數f分解成特定頻率和振幅的正弦波。
傅裏葉變換被表示為頻域上的峰值，峰值的高度顯示了那個頻率下的波的振幅。
傅裏葉分析是個非常有用的工具。
它也可以被用來分析和處理圖像以及其它類型的信息。
但是，它也有缺陷：因為基本的組件——正弦波和餘弦波——是周期性的，傅裏葉分析隻有在重複信號中才能發揮最強大的作用。
但對於那些具有不規則特征（比如峰值等）的非周期信號就不是那麽管用了。
不幸的是，在大部分現實生活的現象中，從說話的聲音到地震數據，都屬於非周期類別。
這個波形來自人類的聲音。它有規律，但不是周期的。
這也是小波理論登場的時候。
顧名思義，小波就是一個“很小的波”。
理論的基礎是一個“母小波”（mother wavelet），是振蕩函數的一小部分。
振蕩的頻率各有不同，同樣地，小波的寬度也各有不同。
但它們之間有著緊密的聯係：頻率越高，寬度越窄。
通過改變母小波的尺度，可以產生女兒小波（daughter wavelets），比如縮小（頻率增高）、放大（頻率降低）或移動。
一個信號，比如我們講話的聲音，就可以用這一簇小波的組合來表示。
這種分解可以使我們能夠捕捉在信號中的重複信息，利用一係列逐漸縮小版本的母小波也使我們可以放大局域的不規則性（比如峰值）。
為了儲存這樣的一個信號分解，你隻需要描述原來母小波的信息，以及不同女兒小波的貢獻。
它們就已經足夠可以把原信號重新構建起來。
前者的變量隻有頻率w，後者則有兩個變量：尺度a（控製小波函數的伸縮）和平移量t（控製小波函數的平移）。
小波理論的最初想法可以追溯到很早以前。
數學家 alfréd haar在一百年前就已經構建了小波的一個版本。
haar的小波有一些漂亮的性質，但也有些不足。
而 meyer在小波理論的發展中起到了關鍵作用，是他構建了小波理論的強有力的堅實數學基礎。
meyer所作出的首個重大貢獻是構造了具有光滑性的正交小波基。
在 morlet構造的小波分析中，meyer小波基中的所有函數都是通過平移和伸縮可以明確指定的單個光滑性“母小波”來生成。
morlet所構造的小波盡管從本質上看非常基礎，但卻相當不可思議。
隨後，stéphane mat和 yves meyer係統地發展了多分辨率分析理論，這是構造小波基的通用框架。
在1980年代後期和1990年代初，信號處理迎來了“小波革命”，小波變換也被應用在了許多基本信號處理的任務上。
例如，壓縮（比如jpeg2000圖像壓縮格式）和去噪，以及更現代的應用（比如壓縮傳感）。
fbi也是利用小波來儲存指紋信息，否則就會占據大量的儲存空間。
此外，meyer的工作還推動了調和分析和偏微分方程式領域的重要理論發展，從證明lipschitz曲線上柯西積分的有界性（由coifman、mcintosh和meyer解決），到發展理解在偏微分方程的非線性效應不可缺少的新工具（比如補償緊致等）。
不僅如此，meyer還在準晶體、奇異積分算子和納維-斯托克斯方程式等課題作出了重要貢獻。
可以說，meyer的工作和洞見不僅推動了純數學和數學分析的應用方麵的發展，還為二者之間架起了卓有成效的溝通橋梁。
stéphane mat稱他為“有遠見的人”，他的工作不屬於任何一個領域（比如純數學、應用數學或計算機科學），它隻能用“神奇”來標簽。