弦論必須是十維的理由十分複雜，
主要的想法大致如下：
維度愈大，弦可以振動的方式愈多。
但為了製造出宇宙中的所有可能性，
弦論不隻需要大數目的可能振動模式，
而且這個數目還必須是特定的數，
結果這個數隻有十維時空才辦得到。
尋找鑽石的時候，幸運的話，你可能附帶找到其他的寶石。我在1977年發表的一篇兩頁論文裏，宣告完成了卡拉比猜想的證明。詳細的證明則發表在1978年的73頁論文中，在這篇文章裏，我附帶證明了另外五個相關的定理。
總而言之，這些意外的收獲，其實源自我思索卡拉比猜想時的非常境遇：我先是想證明他的猜想是錯的，後來又掉頭，試圖證明它是對的。非常幸運，我所有努力都沒有白費，每一著錯步，每條看似不通的死路，後來都被我用上了。我號稱的“反例”（從卡拉比猜想導出的結論，我想證明它們是錯的），因為卡拉比猜想的成立，結果連帶也是正確的。因此這些失敗的反例，事實上是正確的典例，很快都成了數學定理，其中有些還頗為著名呢。
這些定理中最重要的一項，又帶領我們推導出“賽佛利猜想”（severi conjecture），這是龐加萊猜想的複數版本，數學家有二十多年無法證明其對或錯。
其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的severi猜想，複二維投影空間的複結構是唯一的，甚至任意維數複投影空間的卡勒複結構也是唯一的。
另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類複流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻隻能得到複二維的情形。
不過在進行這項證明之前，我得先證明一個關於複曲麵拓撲分類的重要不等式。我之所以對這個不等式感興趣，部分原因是聽到哈佛大學數學家曼弗德（david mumford）的演講，他當時正路過加州。這個問題是荷蘭雷登大學的安東尼斯·凡德文（antonius van de ven）首先提出的，討論關於凱勒流形陳式類的不等式，凡德文證明：凱勒流形第二陳氏類的8倍，不小於其第一陳氏類的平方。當時許多人相信將不等式中的8換成3，將會得到更強的不等式，事實上，大家認為3是可能的最佳值。曼弗德問的，就是能不能證明這個更嚴格的不等式。
這個問題是1976年9月曼弗德在加州大學爾灣分校演講時提出的，當時剛證明卡拉比猜想的我，正好聽了這場演講。他演講到中途，我就相當確定曾經遇過相同的問題。在演講之後的討論中，我告訴曼弗德自己應該可以證明這個更困難的不等式。當天迴家後，我檢查做過的計算，果然不出所料，自己曾經在1973年試圖用這個不等式來否證卡拉比猜想。而現在，我可以倒過來，用卡拉比—丘定理來證明這個不等式。事實上我的收獲更豐盛，因為運用其中的特殊情況，也就是一個“等式”——即第二陳氏類的3倍“等於”第一陳氏類的平方——來證明了賽佛利猜想。
賽佛利猜想與這個應用範圍更廣的不等式[有些時候被稱為“波格莫洛夫—宮岡—丘不等式”（bogomolov-miyaoka-yau inequality），以表彰另兩位數學家的貢獻]是卡拉比證明最初的主要副產品，此後還有其他應用接踵而至。
事實上，卡拉比猜想涵蓋的範圍比我之前提到的更寬廣，其中不隻包含黎奇曲率為零的情況，也包括黎奇曲率為正常數與負常數的情形。
到目前為止，還沒有人能證明出正常數條件中最普遍的情況。事實上，正常數的情形，卡拉比原先的猜想並不成立，後來我提出一個新猜想，加上某個容許正常數黎奇曲率度規存在的特殊條件。
過去二十年，許多數學家（包括多納森）對這個猜想都有相當重要的貢獻，但仍未能完全將它證明。雖然如此，我倒是證明了負曲率的情況，這是我整體論證的一環，法國數學家奧邦也獨立證明了這個部分。
負曲率的解決，則證實了存在著一類涵蓋更廣的流形，稱為凱勒—愛因斯坦流形（k hler-einstein manifolds）。這門新建立的幾何學，後來有出人意料的豐碩研究成果。
在思索卡拉比猜想的直接應用上，我可說是諸事順遂，在短期間內解決了六七個問題。
事實上一旦你知道存在某個度規，就會順勢得到許多結果。
例如你可以反過來導出流形的拓撲性質，並不需要知道度規的確切表式。然後，又可以運用這些性質去指認出流形的唯一特色。
這就好像你不需要知道星係中眾星體的細節，就能辨識星係；或者，不需要知道整副牌的細節，就能推理出許多手中牌張的性質（牌數、大小、花色等）。
對我來說，這就是數學的神奇之處，比起巨細靡遺的細節齊備之後才能做推論，這樣反而更能彰顯數學的威力。
見到我艱苦的努力終於獲得迴報，或者看著他人繼續向我沒想到的路徑邁進，都讓我覺得心滿意足。但盡管擁有這些好運道，還是有個想法不時在心頭扯咬著我。在我內心深處，我很確定這項研究除了數學之外，在物理學中也一定有其意義，雖然我並不知道究竟為何。就某個觀點而言，這個信念其實十分顯然，因為在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率為零的情況），基本上就是真空的愛因斯坦方程，對應到的是沒有背景能量或宇宙常數為零的宇宙（目前，一般認為宇宙常數是正值，和推動宇宙擴張的暗能量同義）。而卡拉比—丘流形就是愛因斯坦方程的解，就像單位圓是x2+y2=1的解一樣。
當然，描述卡拉比—丘空間比圓需要更多的方程式，而且方程式本身也複雜得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但滿足愛因斯坦方程，而且形式格外優雅，至少我覺得有令人忘形之美。所以我認為它在物理學中必定占據著某個重要位置，隻是不知道究竟在哪兒。
主要的想法大致如下：
維度愈大，弦可以振動的方式愈多。
但為了製造出宇宙中的所有可能性，
弦論不隻需要大數目的可能振動模式，
而且這個數目還必須是特定的數，
結果這個數隻有十維時空才辦得到。
尋找鑽石的時候，幸運的話，你可能附帶找到其他的寶石。我在1977年發表的一篇兩頁論文裏，宣告完成了卡拉比猜想的證明。詳細的證明則發表在1978年的73頁論文中，在這篇文章裏，我附帶證明了另外五個相關的定理。
總而言之，這些意外的收獲，其實源自我思索卡拉比猜想時的非常境遇：我先是想證明他的猜想是錯的，後來又掉頭，試圖證明它是對的。非常幸運，我所有努力都沒有白費，每一著錯步，每條看似不通的死路，後來都被我用上了。我號稱的“反例”（從卡拉比猜想導出的結論，我想證明它們是錯的），因為卡拉比猜想的成立，結果連帶也是正確的。因此這些失敗的反例，事實上是正確的典例，很快都成了數學定理，其中有些還頗為著名呢。
這些定理中最重要的一項，又帶領我們推導出“賽佛利猜想”（severi conjecture），這是龐加萊猜想的複數版本，數學家有二十多年無法證明其對或錯。
其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的severi猜想，複二維投影空間的複結構是唯一的，甚至任意維數複投影空間的卡勒複結構也是唯一的。
另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類複流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻隻能得到複二維的情形。
不過在進行這項證明之前，我得先證明一個關於複曲麵拓撲分類的重要不等式。我之所以對這個不等式感興趣，部分原因是聽到哈佛大學數學家曼弗德（david mumford）的演講，他當時正路過加州。這個問題是荷蘭雷登大學的安東尼斯·凡德文（antonius van de ven）首先提出的，討論關於凱勒流形陳式類的不等式，凡德文證明：凱勒流形第二陳氏類的8倍，不小於其第一陳氏類的平方。當時許多人相信將不等式中的8換成3，將會得到更強的不等式，事實上，大家認為3是可能的最佳值。曼弗德問的，就是能不能證明這個更嚴格的不等式。
這個問題是1976年9月曼弗德在加州大學爾灣分校演講時提出的，當時剛證明卡拉比猜想的我，正好聽了這場演講。他演講到中途，我就相當確定曾經遇過相同的問題。在演講之後的討論中，我告訴曼弗德自己應該可以證明這個更困難的不等式。當天迴家後，我檢查做過的計算，果然不出所料，自己曾經在1973年試圖用這個不等式來否證卡拉比猜想。而現在，我可以倒過來，用卡拉比—丘定理來證明這個不等式。事實上我的收獲更豐盛，因為運用其中的特殊情況，也就是一個“等式”——即第二陳氏類的3倍“等於”第一陳氏類的平方——來證明了賽佛利猜想。
賽佛利猜想與這個應用範圍更廣的不等式[有些時候被稱為“波格莫洛夫—宮岡—丘不等式”（bogomolov-miyaoka-yau inequality），以表彰另兩位數學家的貢獻]是卡拉比證明最初的主要副產品，此後還有其他應用接踵而至。
事實上，卡拉比猜想涵蓋的範圍比我之前提到的更寬廣，其中不隻包含黎奇曲率為零的情況，也包括黎奇曲率為正常數與負常數的情形。
到目前為止，還沒有人能證明出正常數條件中最普遍的情況。事實上，正常數的情形，卡拉比原先的猜想並不成立，後來我提出一個新猜想，加上某個容許正常數黎奇曲率度規存在的特殊條件。
過去二十年，許多數學家（包括多納森）對這個猜想都有相當重要的貢獻，但仍未能完全將它證明。雖然如此，我倒是證明了負曲率的情況，這是我整體論證的一環，法國數學家奧邦也獨立證明了這個部分。
負曲率的解決，則證實了存在著一類涵蓋更廣的流形，稱為凱勒—愛因斯坦流形（k hler-einstein manifolds）。這門新建立的幾何學，後來有出人意料的豐碩研究成果。
在思索卡拉比猜想的直接應用上，我可說是諸事順遂，在短期間內解決了六七個問題。
事實上一旦你知道存在某個度規，就會順勢得到許多結果。
例如你可以反過來導出流形的拓撲性質，並不需要知道度規的確切表式。然後，又可以運用這些性質去指認出流形的唯一特色。
這就好像你不需要知道星係中眾星體的細節，就能辨識星係；或者，不需要知道整副牌的細節，就能推理出許多手中牌張的性質（牌數、大小、花色等）。
對我來說，這就是數學的神奇之處，比起巨細靡遺的細節齊備之後才能做推論，這樣反而更能彰顯數學的威力。
見到我艱苦的努力終於獲得迴報，或者看著他人繼續向我沒想到的路徑邁進，都讓我覺得心滿意足。但盡管擁有這些好運道，還是有個想法不時在心頭扯咬著我。在我內心深處，我很確定這項研究除了數學之外，在物理學中也一定有其意義，雖然我並不知道究竟為何。就某個觀點而言，這個信念其實十分顯然，因為在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率為零的情況），基本上就是真空的愛因斯坦方程，對應到的是沒有背景能量或宇宙常數為零的宇宙（目前，一般認為宇宙常數是正值，和推動宇宙擴張的暗能量同義）。而卡拉比—丘流形就是愛因斯坦方程的解，就像單位圓是x2+y2=1的解一樣。
當然，描述卡拉比—丘空間比圓需要更多的方程式，而且方程式本身也複雜得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但滿足愛因斯坦方程，而且形式格外優雅，至少我覺得有令人忘形之美。所以我認為它在物理學中必定占據著某個重要位置，隻是不知道究竟在哪兒。