公元前1650年左右的古埃及數學典籍《萊因德數學紙草書》，其中記錄了古埃及人如何將有理數表示為單位分數之和。
這裏有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10個數字組成的一個數集，我們可以選擇其中的2、3、12、18、36，就能得到1\/2+1\/3+1\/12+1\/18+1\/36=1。
單位分數就是分子是1的分數，或者也可以說是正整數的倒數，它們是當時古埃及數字係統中唯一一類分數，他們需要用單位分數來表示其他更複雜的分數，比如將3\/4寫作1\/2和1\/4的和。
到了20世紀70年代，有關這類分數的問題再次引起了一些數學家的興趣。當時，數學家埃爾德什（paul erd?s）和格雷厄姆（ronald graham）在探索想要設計出不滿足條件的整數集有多難，也就是說，一個整數集中不能有任何子集，其倒數之和等於1。
如果a是n的子集，a具有正密度，那麽存在有限的s是a的子集，使得其中數的倒數和為1。在此，數集a是自然數集的子集，無論你怎麽數下去，都存在一種非零的概率，會遇到集合a中的一個數字，那麽a就具有正密度。
猜想提出約半個世紀後，牛津大學數學家thomas bloom證明了它。
舉個簡單的例子，a是一個包含所有大於1的奇數的集合，它屬於自然數集的子集，並滿足正密度的條件，因為無論你數到10億還是100億，也一定會遇到奇數。然後，我們可以在a中找到有限子集s ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有這些數的倒數相加恰好等於1。
這理解起來並沒有那麽困難，但證明它顯然就變成另一迴事了。那就變成了一個大得多、複雜得多的問題。對不少數學家來說，似乎找不到什麽顯而易見的數學工具來解決它。
數學家ernie croot，他解決了所謂的埃爾德什-格雷厄姆問題的著色版本。
這是一種更弱的證明。可以這麽理解，在著色版本中，整數被隨機地分類，指定放到不同顏色的桶中。猜想預測，無論這種分類中用到了多少個桶，至少會有一個桶包含一個倒數之和等於1的整數子集。
croot這篇發表於2003年的論文引入了來自調和分析的強大的新方法，那是一個與微積分密切相關的數學分支。
著色版本和密度版本非常相似，但它們在一個非常重要的方麵卻有所不同。在著色問題中，整個數集a被分成了不同的“桶”，具體的分割方法並不重要。數學家要證明的是，有一個“桶”裏的數字滿足條件。這正是croot在論文裏構建的證明，表明了至少會有一個“桶”裏包含足夠多具有低素因子的數字，用數學術語來說就是光滑數（smooth number），從而滿足定理。
這可以看作證明的一條捷徑，但在密度版本中，這樣的捷徑並不存在。當bloom看到這篇證明後，卻認為這種方法要比人們普遍認為的更強，那實際上證明了密度問題的一個特例。bloom謙虛地表示，他所做的“隻是又推了一下那扇已經打開的門”。
粗略來說，先前的證明依賴於一類被稱為指數和的整數。指數和可以分成兩個部分，分別是優弧貢獻，也就是我們可以明確計算並且很大的部分，以及劣弧貢獻，也就是我們不知道如何計算，但能證明很小的部分。
先前證明的巧妙之處在於，croot想到了一種思考劣弧貢獻的新方法，把它變成了一類不同的問題。他沒有試圖計算數值，而是研究了這個集合中倍數是如何沿著數軸分布的。
在此基礎上，bloom將它進一步改進成適用於密度版本，進行了更多“局部”處理。在bloom的新論文中，他將自己的方法解釋為“croot引入的方法的一種更強形式”。
同時，bloom沒有直接尋找倒數之和為1的答案，而是先找到了倒數相加更小的數集，然後再把它們當作“零件”，最終構建出想要的答案。這進一步幫助簡化了過程。
bloom的新證明受到了許多數學家的讚賞，但這顯然不是數集與和的問題探索的終點。
數論一直在尋找數字中的隱藏結構。當數論學家遇到一種似乎無可避免的數字模式時，他們會不斷測試這種模式的穩定程度，探索它的邊界和極限，從而挖掘出埋藏在數字中的新信息。
在過去20年間，組合與分析數論都有了很大發展，讓數學家能夠以全新的視角看待許多古老的問題。同時，在計算機的幫助下，以更嚴格的方式檢驗證明也成為可能。
這裏有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10個數字組成的一個數集，我們可以選擇其中的2、3、12、18、36，就能得到1\/2+1\/3+1\/12+1\/18+1\/36=1。
單位分數就是分子是1的分數，或者也可以說是正整數的倒數，它們是當時古埃及數字係統中唯一一類分數，他們需要用單位分數來表示其他更複雜的分數，比如將3\/4寫作1\/2和1\/4的和。
到了20世紀70年代，有關這類分數的問題再次引起了一些數學家的興趣。當時，數學家埃爾德什（paul erd?s）和格雷厄姆（ronald graham）在探索想要設計出不滿足條件的整數集有多難，也就是說，一個整數集中不能有任何子集，其倒數之和等於1。
如果a是n的子集，a具有正密度，那麽存在有限的s是a的子集，使得其中數的倒數和為1。在此，數集a是自然數集的子集，無論你怎麽數下去，都存在一種非零的概率，會遇到集合a中的一個數字，那麽a就具有正密度。
猜想提出約半個世紀後，牛津大學數學家thomas bloom證明了它。
舉個簡單的例子，a是一個包含所有大於1的奇數的集合，它屬於自然數集的子集，並滿足正密度的條件，因為無論你數到10億還是100億，也一定會遇到奇數。然後，我們可以在a中找到有限子集s ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有這些數的倒數相加恰好等於1。
這理解起來並沒有那麽困難，但證明它顯然就變成另一迴事了。那就變成了一個大得多、複雜得多的問題。對不少數學家來說，似乎找不到什麽顯而易見的數學工具來解決它。
數學家ernie croot，他解決了所謂的埃爾德什-格雷厄姆問題的著色版本。
這是一種更弱的證明。可以這麽理解，在著色版本中，整數被隨機地分類，指定放到不同顏色的桶中。猜想預測，無論這種分類中用到了多少個桶，至少會有一個桶包含一個倒數之和等於1的整數子集。
croot這篇發表於2003年的論文引入了來自調和分析的強大的新方法，那是一個與微積分密切相關的數學分支。
著色版本和密度版本非常相似，但它們在一個非常重要的方麵卻有所不同。在著色問題中，整個數集a被分成了不同的“桶”，具體的分割方法並不重要。數學家要證明的是，有一個“桶”裏的數字滿足條件。這正是croot在論文裏構建的證明，表明了至少會有一個“桶”裏包含足夠多具有低素因子的數字，用數學術語來說就是光滑數（smooth number），從而滿足定理。
這可以看作證明的一條捷徑，但在密度版本中，這樣的捷徑並不存在。當bloom看到這篇證明後，卻認為這種方法要比人們普遍認為的更強，那實際上證明了密度問題的一個特例。bloom謙虛地表示，他所做的“隻是又推了一下那扇已經打開的門”。
粗略來說，先前的證明依賴於一類被稱為指數和的整數。指數和可以分成兩個部分，分別是優弧貢獻，也就是我們可以明確計算並且很大的部分，以及劣弧貢獻，也就是我們不知道如何計算，但能證明很小的部分。
先前證明的巧妙之處在於，croot想到了一種思考劣弧貢獻的新方法，把它變成了一類不同的問題。他沒有試圖計算數值，而是研究了這個集合中倍數是如何沿著數軸分布的。
在此基礎上，bloom將它進一步改進成適用於密度版本，進行了更多“局部”處理。在bloom的新論文中，他將自己的方法解釋為“croot引入的方法的一種更強形式”。
同時，bloom沒有直接尋找倒數之和為1的答案，而是先找到了倒數相加更小的數集，然後再把它們當作“零件”，最終構建出想要的答案。這進一步幫助簡化了過程。
bloom的新證明受到了許多數學家的讚賞，但這顯然不是數集與和的問題探索的終點。
數論一直在尋找數字中的隱藏結構。當數論學家遇到一種似乎無可避免的數字模式時，他們會不斷測試這種模式的穩定程度，探索它的邊界和極限，從而挖掘出埋藏在數字中的新信息。
在過去20年間，組合與分析數論都有了很大發展，讓數學家能夠以全新的視角看待許多古老的問題。同時，在計算機的幫助下，以更嚴格的方式檢驗證明也成為可能。