“分球怪論”，是一條數學定理。 1924年，斯特凡·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基首次提出這一定理。這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以將一個三維實心球分成有限（不勒貝格可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，不過要旋轉(不可列)無窮次，可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數學家認為這僅意味著選擇公理可以導致少數令人驚訝和反直覺的結果。
假設旅館有無限個房間，把這無限個房間按照一定的分類規則分成兩類，並把這兩類房間分開，分別稱為“旅館a”和“旅館b”。
除去每個房間編號的問題，那麽超模君請大家思考：這兩個新的旅館，和原來的“希爾伯特旅館”有區別嗎?
我們都知道答案：沒有區別，兩個新旅館，和原來的旅館一模一樣，房間數一樣，每個房間的大小也一樣。
同樣的，我們往下對“巴拿赫-塔斯基分球定理”這個“無窮”的概念做一個更深層次的理解。
一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅通過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）。
超模君初看這個定理就覺得違反了人類的直覺常識，假設球體的體積或質量是一定的，通過旋轉或者平移以後這些碎片的總體積或總質量應該也是不變的，拚起來後也不可能會變成1=1+1啊，這不就是個悖論嗎？
這個定理還有更強的版本描述：
一塊石頭經過分解，可以隨意組合成任何東西，可以拚成一個星球，也可以拚成一個人，甚至藏進一個細胞之中！
有畫麵了嗎？可以用一個石頭去拚接星球，也可以去創造一個世界。
咳咳，說過了，讓我們先從夢中醒來，詳細地了解一下這個定理的強大與神奇。
時間迴到1924年的一天，又是一個美好又平靜的早晨。就在這個偉大的日子，兩位數學家斯特凡·巴拿赫（stefan banach）和阿爾弗雷德·塔斯基（alfred tarski)提出一個反常識的定理，人稱“分球怪論”。
他們當時發表了一篇論文來概述這個理論：
把一個三維的半徑為1的實心球用某種巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋轉平移後可以和另外一份重合——然後把這五個分塊旋轉平移後，可以組合成兩個半徑為1的實心球。
簡單的說，一個球分割重組後變成了兩個同樣大小的球！當然了，這樣的過程還可以繼續下去，兩個變四個，四個變八個......
但當他們發表了這個篇論文後，就有人一馬當先開始抨擊，說這顯然不正確吧。
如果一個實心球體積為v（因為球的半徑是1，所以v > 0），那麽五個等分塊，每塊體積為v\/5，平移旋轉不改變體積，那麽無論它們如何組合，最後得到的東西總體積是v，而不可能是2v。
因為，這個論述是基於這麽一個假設：
每一個分塊都是有“體積”的。而分球定理的理論之處就在於它把球分成了五個“不可測集”——也就是五個“無法定義體積”的奇怪分塊。所以，這裏我們說“五等分”隻是說它們其中一塊平移旋轉後能重合到另一塊上，並不是說它們“體積相等”——因為根本就沒有體積，也就沒有相等之說。
其實巴拿赫-塔斯基在證明結論的時候主要用到的就是集合論中的選擇公理。
通俗一點的說，選擇公理可以這麽描述：
用任意一組（可能有不可數無限個）非空集合，我們都可以從每個集合挑出一個元素。
看上去非常“無辜”啊——這不就是典型的“正確的廢話”麽——所以它被叫做“公理”。可是就是這麽一個公理，卻是魔力驚人，能讓我們把實心球一個變倆。這就是數學的魅力！
其實數學家們一開始發現這個結論也覺得這不太可能，包括塔斯基本人也是想利用這個定理來展示出選擇公理中存在的某些先天不足，也就是說他們最先想責怪的就是選擇公理.
如果放到現在估計一大半的數學家會暈倒！因為他們學的東西裏麵有太多的定理都是在選擇公理的基礎上證明的，現在大多數數學家還是承認選擇公理的。
但其實我們還忽略了一個問題:?3的子集的體積該怎麽定義?
迴到“分球定理”中，隻有那些比較漂亮的子集我們才給它們定義了體積，比如:一個球，一個立方體等等。如果是一些雜亂無章的點構成的子集，是很難定義其“體積”的。
分球悖論的奧妙之處就在於，將一個球分成幾個部分的時候，很多部分都是一些“非常難看”的子集，它們是沒有“體積”的.也就是說最終把一個球分成了幾個沒有“體積”的部分，然後把它們平移、旋轉後反而成了兩個同等大小的球！
假設旅館有無限個房間，把這無限個房間按照一定的分類規則分成兩類，並把這兩類房間分開，分別稱為“旅館a”和“旅館b”。
除去每個房間編號的問題，那麽超模君請大家思考：這兩個新的旅館，和原來的“希爾伯特旅館”有區別嗎?
我們都知道答案：沒有區別，兩個新旅館，和原來的旅館一模一樣，房間數一樣，每個房間的大小也一樣。
同樣的，我們往下對“巴拿赫-塔斯基分球定理”這個“無窮”的概念做一個更深層次的理解。
一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅通過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）。
超模君初看這個定理就覺得違反了人類的直覺常識，假設球體的體積或質量是一定的，通過旋轉或者平移以後這些碎片的總體積或總質量應該也是不變的，拚起來後也不可能會變成1=1+1啊，這不就是個悖論嗎？
這個定理還有更強的版本描述：
一塊石頭經過分解，可以隨意組合成任何東西，可以拚成一個星球，也可以拚成一個人，甚至藏進一個細胞之中！
有畫麵了嗎？可以用一個石頭去拚接星球，也可以去創造一個世界。
咳咳，說過了，讓我們先從夢中醒來，詳細地了解一下這個定理的強大與神奇。
時間迴到1924年的一天，又是一個美好又平靜的早晨。就在這個偉大的日子，兩位數學家斯特凡·巴拿赫（stefan banach）和阿爾弗雷德·塔斯基（alfred tarski)提出一個反常識的定理，人稱“分球怪論”。
他們當時發表了一篇論文來概述這個理論：
把一個三維的半徑為1的實心球用某種巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋轉平移後可以和另外一份重合——然後把這五個分塊旋轉平移後，可以組合成兩個半徑為1的實心球。
簡單的說，一個球分割重組後變成了兩個同樣大小的球！當然了，這樣的過程還可以繼續下去，兩個變四個，四個變八個......
但當他們發表了這個篇論文後，就有人一馬當先開始抨擊，說這顯然不正確吧。
如果一個實心球體積為v（因為球的半徑是1，所以v > 0），那麽五個等分塊，每塊體積為v\/5，平移旋轉不改變體積，那麽無論它們如何組合，最後得到的東西總體積是v，而不可能是2v。
因為，這個論述是基於這麽一個假設：
每一個分塊都是有“體積”的。而分球定理的理論之處就在於它把球分成了五個“不可測集”——也就是五個“無法定義體積”的奇怪分塊。所以，這裏我們說“五等分”隻是說它們其中一塊平移旋轉後能重合到另一塊上，並不是說它們“體積相等”——因為根本就沒有體積，也就沒有相等之說。
其實巴拿赫-塔斯基在證明結論的時候主要用到的就是集合論中的選擇公理。
通俗一點的說，選擇公理可以這麽描述：
用任意一組（可能有不可數無限個）非空集合，我們都可以從每個集合挑出一個元素。
看上去非常“無辜”啊——這不就是典型的“正確的廢話”麽——所以它被叫做“公理”。可是就是這麽一個公理，卻是魔力驚人，能讓我們把實心球一個變倆。這就是數學的魅力！
其實數學家們一開始發現這個結論也覺得這不太可能，包括塔斯基本人也是想利用這個定理來展示出選擇公理中存在的某些先天不足，也就是說他們最先想責怪的就是選擇公理.
如果放到現在估計一大半的數學家會暈倒！因為他們學的東西裏麵有太多的定理都是在選擇公理的基礎上證明的，現在大多數數學家還是承認選擇公理的。
但其實我們還忽略了一個問題:?3的子集的體積該怎麽定義?
迴到“分球定理”中，隻有那些比較漂亮的子集我們才給它們定義了體積，比如:一個球，一個立方體等等。如果是一些雜亂無章的點構成的子集，是很難定義其“體積”的。
分球悖論的奧妙之處就在於，將一個球分成幾個部分的時候，很多部分都是一些“非常難看”的子集，它們是沒有“體積”的.也就是說最終把一個球分成了幾個沒有“體積”的部分，然後把它們平移、旋轉後反而成了兩個同等大小的球！