1945年。
塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在研究拓撲學裏的同調論，引進了範疇論。在同態（具有幾何直觀）轉化成同調論（公理化方法）的過程中起了重要作用。不同的“拓撲”問題可以轉換至通常較易解答的“代數”問題之上。
在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構，可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。
桑德斯·麥克蘭恩說：“對象與對象之間不是孤立的，而是具有許許多多的“聯係”的。但是“聯係”是一種空泛的詞語，它既可以表示對象與對象之間所有聯係的集合，也可以表示對象與對象之間所有聯係之中的某一條聯係。為了使得描述的對象不那麽空泛，我們用專有名詞“態射”來指代對象與對象之間所有聯係中的某一條聯係。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高級產物，因為集合和範疇都含有許多的對象，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個對象，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”
烏拉姆說：“1930年，波蘭也有過類似想法，主要是bourbaki總結了三種基本數學結構，範疇論將這三種數學結構歸結為一種。對數學結構可以統一化描述。”
桑德斯·麥克蘭恩說：“態射也可以看成一種對象，所以態射之間也會存在態射。而對象在某種程度上也可以看成一種態射，所以事實上，對象和態射其實是一種東西。這句話不理解沒關係，已經超越了範疇論的內容。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高級產物，因為集合和範疇都含有許多的對象，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個對象，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”
阿諾德打斷道：“那範疇與範疇之間有映射嗎？”
塞繆爾·艾倫伯格說：“範疇與範疇之間的映射稱之為“函子”。映射是一種特殊的態射，所以函子也是一種態射。我們可以利用範疇和函子構建一種新的範疇。”
阿諾德聽完以後有些懵。
桑德斯·麥克蘭恩說：“而函子本身也可以看成一種對象，所以函子之間也會存在態射。這種函子之間的態射我們稱之為自然變換。”
柯爾莫哥洛夫實在是聽不下去了，直接高喊：“先等一下，你們這是在鬧什麽？我覺得你們創造數學符號和數學名詞的時候非常隨便和混亂。在我學哲學史的時候有一個非常重要的思路，就是任何一種理論都是要解決一個特定的問題。如果沒有這個問題，這一理論就毫無意義。因此在說明一種理論的第一件事，應當是說明這個理論要解決什麽問題。你們這些人講了許多定義，但是沒有“問題”。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“我這是個十分有用的東西，範疇論直觀，更容易理解。是以公理集合論定義，所以都是集合論語言，很冗長。集中使用在代數拓撲，代數幾何，代數幾何子領域的非交換幾何，代數數論。理論物理以來代數幾何中非交換幾何，所以也用範疇論表示。”
柯爾莫哥洛夫搖搖頭說：“僅僅是一個哲學概念，不會很好的精確解決問題。”
阿諾德說：“這些都是抽象到一堆像雲霧一樣的了？還有其準確性？為什麽聽起來如此混亂？”
格羅滕迪克說：“如果拿純粹的集合論表示，那才麻煩，用範疇論讓這些變得簡化了。”
格羅滕迪克說：“這不但有用，非交換幾何十分有用，而非交換幾何也隻能用以上的理論來解決，所以這是個十分有用的東西。這是可以的，在集合論的基礎上，對這些東西進行了嚴格而精細的改造，出來的這些東西可以規範原有的理論，以此衍生出的新東西當然可以構造出新的理論。對此，有兩個問題需要麵對：1，如何去規範這套理論，盡量沒有任何瑕疵，對待任何瑕疵，都要拿出數學家嚴謹的一麵來解決。如何使用這套理論，讓數學家對這些理論有一種情感上的準確把握和認識。”
柯爾莫哥洛夫說：“我就不吐槽態射這個詞了，我都快不認識態這個字了。對象和態射既然打包叫範疇，那麽範疇到範疇的態射按照正常的思路應該叫什麽？高級態射？宏態射？居然叫函子！而且既然箭頭往右打，為什麽要用一個反向的動詞跟隨，再把對象反過來寫？再加上前麵範疇用的是不知道什麽字母，後麵又變成abc了，讓人非常混亂。”
格羅滕迪克說：“我腦子裏想事情不需要問題，隻需要直接想定義即可。非交換幾何可以一眼就看出其物理意義。也隻能用代數幾何方法來研究。”格羅滕迪克對那些蘇聯的土老冒也毫無辦法了，看來即使是在數學上傑出的人，也不見得事事都可接受。
塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在研究拓撲學裏的同調論，引進了範疇論。在同態（具有幾何直觀）轉化成同調論（公理化方法）的過程中起了重要作用。不同的“拓撲”問題可以轉換至通常較易解答的“代數”問題之上。
在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構，可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。
桑德斯·麥克蘭恩說：“對象與對象之間不是孤立的，而是具有許許多多的“聯係”的。但是“聯係”是一種空泛的詞語，它既可以表示對象與對象之間所有聯係的集合，也可以表示對象與對象之間所有聯係之中的某一條聯係。為了使得描述的對象不那麽空泛，我們用專有名詞“態射”來指代對象與對象之間所有聯係中的某一條聯係。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高級產物，因為集合和範疇都含有許多的對象，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個對象，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”
烏拉姆說：“1930年，波蘭也有過類似想法，主要是bourbaki總結了三種基本數學結構，範疇論將這三種數學結構歸結為一種。對數學結構可以統一化描述。”
桑德斯·麥克蘭恩說：“態射也可以看成一種對象，所以態射之間也會存在態射。而對象在某種程度上也可以看成一種態射，所以事實上，對象和態射其實是一種東西。這句話不理解沒關係，已經超越了範疇論的內容。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高級產物，因為集合和範疇都含有許多的對象，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個對象，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”
阿諾德打斷道：“那範疇與範疇之間有映射嗎？”
塞繆爾·艾倫伯格說：“範疇與範疇之間的映射稱之為“函子”。映射是一種特殊的態射，所以函子也是一種態射。我們可以利用範疇和函子構建一種新的範疇。”
阿諾德聽完以後有些懵。
桑德斯·麥克蘭恩說：“而函子本身也可以看成一種對象，所以函子之間也會存在態射。這種函子之間的態射我們稱之為自然變換。”
柯爾莫哥洛夫實在是聽不下去了，直接高喊：“先等一下，你們這是在鬧什麽？我覺得你們創造數學符號和數學名詞的時候非常隨便和混亂。在我學哲學史的時候有一個非常重要的思路，就是任何一種理論都是要解決一個特定的問題。如果沒有這個問題，這一理論就毫無意義。因此在說明一種理論的第一件事，應當是說明這個理論要解決什麽問題。你們這些人講了許多定義，但是沒有“問題”。”
塞繆爾·艾倫伯格說：“我這是個十分有用的東西，範疇論直觀，更容易理解。是以公理集合論定義，所以都是集合論語言，很冗長。集中使用在代數拓撲，代數幾何，代數幾何子領域的非交換幾何，代數數論。理論物理以來代數幾何中非交換幾何，所以也用範疇論表示。”
柯爾莫哥洛夫搖搖頭說：“僅僅是一個哲學概念，不會很好的精確解決問題。”
阿諾德說：“這些都是抽象到一堆像雲霧一樣的了？還有其準確性？為什麽聽起來如此混亂？”
格羅滕迪克說：“如果拿純粹的集合論表示，那才麻煩，用範疇論讓這些變得簡化了。”
格羅滕迪克說：“這不但有用，非交換幾何十分有用，而非交換幾何也隻能用以上的理論來解決，所以這是個十分有用的東西。這是可以的，在集合論的基礎上，對這些東西進行了嚴格而精細的改造，出來的這些東西可以規範原有的理論，以此衍生出的新東西當然可以構造出新的理論。對此，有兩個問題需要麵對：1，如何去規範這套理論，盡量沒有任何瑕疵，對待任何瑕疵，都要拿出數學家嚴謹的一麵來解決。如何使用這套理論，讓數學家對這些理論有一種情感上的準確把握和認識。”
柯爾莫哥洛夫說：“我就不吐槽態射這個詞了，我都快不認識態這個字了。對象和態射既然打包叫範疇，那麽範疇到範疇的態射按照正常的思路應該叫什麽？高級態射？宏態射？居然叫函子！而且既然箭頭往右打，為什麽要用一個反向的動詞跟隨，再把對象反過來寫？再加上前麵範疇用的是不知道什麽字母，後麵又變成abc了，讓人非常混亂。”
格羅滕迪克說：“我腦子裏想事情不需要問題，隻需要直接想定義即可。非交換幾何可以一眼就看出其物理意義。也隻能用代數幾何方法來研究。”格羅滕迪克對那些蘇聯的土老冒也毫無辦法了，看來即使是在數學上傑出的人，也不見得事事都可接受。