希爾伯特零點定理（hilbert''s nullstellensatz）是古典代數幾何的基石，它給出了域 k 上的 n 維仿射空間中的代數集與域 k 上的 n 元多項式環的根理想的一一對應關係，此外，它的一個較弱版本給出了仿射空間中的點與多項式環的極大理想之間的一一對應關係，由此建立了代數和幾何之間的聯係，使得人們可以用交換代數的手段研究幾何問題。
希爾伯特說：“群隻有一種運算，就是乘法。”
希爾伯特說：“而環有兩種運算，就是加法和乘法。”
路人甲說：“那什麽結構是環呢？”
希爾伯特說：“多項式就是環，裏麵既有乘法，也有加法。當然加法滿足交換律，乘法滿足結合律，也要滿足分配律。符合這個條件的，就算做環的結構了。”
路人甲說：“你的意思是，你打算要用研究環的思想來研究多項式嗎？”
希爾伯特說：“沒錯，直接研究環的性質，就可以對多項式這個看著比較繁瑣的東西，要相對簡單一些了。”
路人甲說：“何以看出有這種簡單性？”
希爾伯特說：“從環論中得出理想的概念，會發現更仿射空間子集有一個對應關係。”
路人甲說：“仿射空間是點和向量的集合。仿射空間子集是對坐標軸的一個變化是嗎？”仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構。這種結構是一種特殊的線性空間，是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
希爾伯特點頭道：“沒錯。”
希爾伯特說：“群隻有一種運算，就是乘法。”
希爾伯特說：“而環有兩種運算，就是加法和乘法。”
路人甲說：“那什麽結構是環呢？”
希爾伯特說：“多項式就是環，裏麵既有乘法，也有加法。當然加法滿足交換律，乘法滿足結合律，也要滿足分配律。符合這個條件的，就算做環的結構了。”
路人甲說：“你的意思是，你打算要用研究環的思想來研究多項式嗎？”
希爾伯特說：“沒錯，直接研究環的性質，就可以對多項式這個看著比較繁瑣的東西，要相對簡單一些了。”
路人甲說：“何以看出有這種簡單性？”
希爾伯特說：“從環論中得出理想的概念，會發現更仿射空間子集有一個對應關係。”
路人甲說：“仿射空間是點和向量的集合。仿射空間子集是對坐標軸的一個變化是嗎？”仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構。這種結構是一種特殊的線性空間，是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
希爾伯特點頭道：“沒錯。”