1880年，龐加萊（poincaré）發表了關於自守函數的重要結果。
1883年，龐加萊發表了一篇論文，開啟了多複變解析函數理論的研究。
1892年，龐加萊出版了三卷本《天體力學的新方法》（les méthodes nouvelles de mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻畫機械係統的所有運動，援引流體流動的類比。他還證明，以前例如德勞內（dunay）用於研究三體問題的級數展開是收斂的，但一般不是一致收斂。這使人懷疑拉格朗日和拉普拉斯給出的關於太陽係穩定性的證明。
1894年，龐加萊開始了代數拓撲的工作。
1895年，龐加萊出版了《位置分析》（analysis situs），這是他的第一本拓撲學著作，給出了這個專題的較早的係統性處理。他是代數拓撲的創始人，發表了這個專題的6篇論文。他引入了基本群。
1904年，龐加萊提出龐加萊猜想：每個同倫等價於3維球麵的3維閉流形必定是3維球麵。
1904年，龐加萊在一個講座中提出一種相對性理論來解釋邁克爾遜-莫雷實驗。
1908年，龐加萊出版了《科學與方法》（science et méthode），這也許是他最著名的大眾讀物。
“大家要考慮這個問題，這個猜想所延伸的問題。”
教課是查爾斯·厄米特，他一邊在黑白上寫著複雜而古怪的符號，一邊在畫各種表示抽象思想的圖。此時，他想把世界性的難題就這樣任性的拋給自己的學生。
突然看到一個學生迴答道：“使用怎樣的簡單幾何，和構造方法，做成一個特定序列，然後構造出我們想要的複雜的幾何體？我覺得不是什麽難事呀！”
查爾斯·厄米特看了看亨利·龐加萊，聽到這句話就想笑。雖然他是要把這種難題要扔給學生們去解決的，但是如此不走心的迴答，還是讓查爾斯·厄米特有些反感。
“別著急去這樣說，你給我說說，有什麽辦法？”
亨利·龐加萊想了想說：“一個複雜的曲麵形狀，是可以由無數個等邊三角形構造出來的。”
查爾斯·厄米特噗嗤的笑了一聲：“你是剛學的吧，不對，你看到一個複雜的曲麵，一下子就能知道如何用無數個等邊三角形來構造？你幼稚了！首先這無數個等邊三角形都是大小相等的嗎？如果不相等，那應該如何去選取大小？”
“先用最大的覆蓋一下，看看，在小的地方再用次等大的用最大的覆蓋，每一個空隙使用盡可能最大的三角形去覆蓋，蓋到最小的為止。”亨利·龐加萊說著話，帶有要豁出去的意思了。
“哈哈，什麽叫蓋到最小？有多小？是不是在誤差範圍之內的不用管就可以了？”查爾斯·厄米特隨著亨利·龐加萊的意思，也在試圖推導，而不急於去反駁他的觀點。對於查爾斯·厄米特來說，解決問題，有的時候比提出問題更值得去珍惜，老師的批判應該有水平，而不去做一個情緒化的大杠精。
“沒做，做某一個項目的時候，這種誤差小的，根本不影響工程，而且這樣去做出無數的三角形的辦法，完全說可取的。”亨利·龐加萊認為自己想的很完美，隻要是認真思考過的問題，就沒有解決不了的辦法。
“我發現兩個問題，第一就是去根據形狀去計算覆蓋三角形的最大形狀，這也不是一下子就能夠算出來的。第二就是隨著空隙的增加，去用三角形填空的過程也會變得極為繁瑣複雜。”查爾斯·厄米特想要反駁的方式去測測亨利·龐加萊的能力，最重要的是要測一測亨利·龐加萊的耐力。
“如果不能夠快速給出形狀，就用隨機的辦法來化最大三角形，就沒必要遍曆的去比較哪個三角形麵積是最大的了。而填空這種過程，就使用軟件的算法，能不能用分布式的解決來計算了。”亨利·龐加萊認為這種辦法也是可取的，沒必要非得去找最大三角形，隻要隨機快速的找到足夠大就可以，這樣的計算過程就會加快，而且這樣的下麵的計算過程也會因此而加快。
查爾斯·厄米特心裏在想，那這種構造的序列就是，先知道這個曲麵，然後隨機畫上三角形填滿，並記錄三角形信息，之後隨機的沒填一個三角形，就記錄一個三角形的信息，知道剩下的空隙在誤差範圍內就可以。
“即使用了這個辦法，尋找空隙的算法，還是會很麻煩的。因為你不知道這裏是不是覆蓋過的。”查爾斯·厄米特還是疑惑的說。
“那就把每一個覆蓋進行記錄，然後遇到空隙後，計算空隙的中心坐標，中心坐標在覆蓋好的三角形之外，就足夠了。”亨利·龐加萊繼續說：“你在序列裏直接加上這個程序就可以了。”
“你說的隨機給形狀，還有判定空隙沒有被三角形覆蓋等等，這就是查爾斯·厄米特猜想裏的模糊問題了。空隙沒有被三角形覆蓋，你的算法可能是錯誤的，萬一有空隙很小，但質心在覆蓋三角形中心處的凹形結構。即使你有其他算法了，但是也是很複雜的了。”查爾斯·厄米特就用這樣的方式告訴大家，查爾斯·厄米特猜想的困難性。
亨利·龐加萊瞬間來了興趣，他認為自己應該用基本的幾何體去勾結一個複雜的三維形狀。
亨利·龐加萊的腦子裏開始用正四麵體結構來堆放處一個形狀的東西，並且試圖讓這個東西進行一個變換。
0維單形是一個點，一維單形是一條線段，二維單形是一個三角形，三維單形是一個四麵體，n維單形是一個具有n+1個頂點的廣義四麵體。
1883年，龐加萊發表了一篇論文，開啟了多複變解析函數理論的研究。
1892年，龐加萊出版了三卷本《天體力學的新方法》（les méthodes nouvelles de mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻畫機械係統的所有運動，援引流體流動的類比。他還證明，以前例如德勞內（dunay）用於研究三體問題的級數展開是收斂的，但一般不是一致收斂。這使人懷疑拉格朗日和拉普拉斯給出的關於太陽係穩定性的證明。
1894年，龐加萊開始了代數拓撲的工作。
1895年，龐加萊出版了《位置分析》（analysis situs），這是他的第一本拓撲學著作，給出了這個專題的較早的係統性處理。他是代數拓撲的創始人，發表了這個專題的6篇論文。他引入了基本群。
1904年，龐加萊提出龐加萊猜想：每個同倫等價於3維球麵的3維閉流形必定是3維球麵。
1904年，龐加萊在一個講座中提出一種相對性理論來解釋邁克爾遜-莫雷實驗。
1908年，龐加萊出版了《科學與方法》（science et méthode），這也許是他最著名的大眾讀物。
“大家要考慮這個問題，這個猜想所延伸的問題。”
教課是查爾斯·厄米特，他一邊在黑白上寫著複雜而古怪的符號，一邊在畫各種表示抽象思想的圖。此時，他想把世界性的難題就這樣任性的拋給自己的學生。
突然看到一個學生迴答道：“使用怎樣的簡單幾何，和構造方法，做成一個特定序列，然後構造出我們想要的複雜的幾何體？我覺得不是什麽難事呀！”
查爾斯·厄米特看了看亨利·龐加萊，聽到這句話就想笑。雖然他是要把這種難題要扔給學生們去解決的，但是如此不走心的迴答，還是讓查爾斯·厄米特有些反感。
“別著急去這樣說，你給我說說，有什麽辦法？”
亨利·龐加萊想了想說：“一個複雜的曲麵形狀，是可以由無數個等邊三角形構造出來的。”
查爾斯·厄米特噗嗤的笑了一聲：“你是剛學的吧，不對，你看到一個複雜的曲麵，一下子就能知道如何用無數個等邊三角形來構造？你幼稚了！首先這無數個等邊三角形都是大小相等的嗎？如果不相等，那應該如何去選取大小？”
“先用最大的覆蓋一下，看看，在小的地方再用次等大的用最大的覆蓋，每一個空隙使用盡可能最大的三角形去覆蓋，蓋到最小的為止。”亨利·龐加萊說著話，帶有要豁出去的意思了。
“哈哈，什麽叫蓋到最小？有多小？是不是在誤差範圍之內的不用管就可以了？”查爾斯·厄米特隨著亨利·龐加萊的意思，也在試圖推導，而不急於去反駁他的觀點。對於查爾斯·厄米特來說，解決問題，有的時候比提出問題更值得去珍惜，老師的批判應該有水平，而不去做一個情緒化的大杠精。
“沒做，做某一個項目的時候，這種誤差小的，根本不影響工程，而且這樣去做出無數的三角形的辦法，完全說可取的。”亨利·龐加萊認為自己想的很完美，隻要是認真思考過的問題，就沒有解決不了的辦法。
“我發現兩個問題，第一就是去根據形狀去計算覆蓋三角形的最大形狀，這也不是一下子就能夠算出來的。第二就是隨著空隙的增加，去用三角形填空的過程也會變得極為繁瑣複雜。”查爾斯·厄米特想要反駁的方式去測測亨利·龐加萊的能力，最重要的是要測一測亨利·龐加萊的耐力。
“如果不能夠快速給出形狀，就用隨機的辦法來化最大三角形，就沒必要遍曆的去比較哪個三角形麵積是最大的了。而填空這種過程，就使用軟件的算法，能不能用分布式的解決來計算了。”亨利·龐加萊認為這種辦法也是可取的，沒必要非得去找最大三角形，隻要隨機快速的找到足夠大就可以，這樣的計算過程就會加快，而且這樣的下麵的計算過程也會因此而加快。
查爾斯·厄米特心裏在想，那這種構造的序列就是，先知道這個曲麵，然後隨機畫上三角形填滿，並記錄三角形信息，之後隨機的沒填一個三角形，就記錄一個三角形的信息，知道剩下的空隙在誤差範圍內就可以。
“即使用了這個辦法，尋找空隙的算法，還是會很麻煩的。因為你不知道這裏是不是覆蓋過的。”查爾斯·厄米特還是疑惑的說。
“那就把每一個覆蓋進行記錄，然後遇到空隙後，計算空隙的中心坐標，中心坐標在覆蓋好的三角形之外，就足夠了。”亨利·龐加萊繼續說：“你在序列裏直接加上這個程序就可以了。”
“你說的隨機給形狀，還有判定空隙沒有被三角形覆蓋等等，這就是查爾斯·厄米特猜想裏的模糊問題了。空隙沒有被三角形覆蓋，你的算法可能是錯誤的，萬一有空隙很小，但質心在覆蓋三角形中心處的凹形結構。即使你有其他算法了，但是也是很複雜的了。”查爾斯·厄米特就用這樣的方式告訴大家，查爾斯·厄米特猜想的困難性。
亨利·龐加萊瞬間來了興趣，他認為自己應該用基本的幾何體去勾結一個複雜的三維形狀。
亨利·龐加萊的腦子裏開始用正四麵體結構來堆放處一個形狀的東西，並且試圖讓這個東西進行一個變換。
0維單形是一個點，一維單形是一條線段，二維單形是一個三角形，三維單形是一個四麵體，n維單形是一個具有n+1個頂點的廣義四麵體。