拿一張白的長紙條，把一麵塗成黑色，然後把其中一端扭轉180°，就成為一個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平麵上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。
比如在普通空間無法實現的“手套易位“問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麽扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麽解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手係的，另一個是右手係的，它們之間有著極大的不同。
用扭結來打比方，如果把它看作平麵上的曲線的話，那麽它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。
莫比烏斯對克萊因說：“咱們談完了莫比烏斯帶和克萊因瓶。咱們要看看推廣到高維的三維的東西。”
克萊因說：“克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球麵或輪胎麵是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲麵。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們隻好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維度再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。”
莫比烏斯說：“莫比烏斯帶這個平麵東西在三維中才會有全部形狀，克萊因瓶在四維中才能看出那種連續扭曲的變化。那二維的帶子或者平麵在五維空間會形成一種怎樣的不分內外的結構？”
克萊因說：“這是個有趣的問題，很難想象，我們要不要放棄研究？”
莫比烏斯說：“不但不放棄研究，而且要找到一種固定的東西來研究，比如左右變化的對稱性這種東西，莫比烏斯帶可以從左邊連續變化到右麵，而克萊因瓶可以從外麵連續變化到裏麵。那麽更高維的變化會比左右和內外更加深刻，取個名字就深內和深外，這種就是深內會變化為深外。”
克萊因說：“你說的具體是什麽東西，什麽狀態叫深內，是多個東西的內部就深內嗎？多個東西的外部叫深外？經過二維麵在五維空間中的變換，多個內部的東西會被翻轉成多個外部的？你想說的深刻的推廣，就是這樣的推廣嗎？”
莫比烏斯說：“多個東西的內部叫深刻的內部？除此以外就沒有其他深刻的內部了？或者是深刻的左右了嗎？”莫比烏斯在想俄羅斯套娃這種類型的算不算是更深的深處，同時如何將這種深處反演出來。或者是連續的有厚度的密度不同的帶梯度的深處，是否也可以反演翻出來。
克萊因說：“依你這麽說，是不是我們需要在現實世界中留意一下，哪裏的乾坤是具備可以相互顛倒的性質的是嗎？”
莫比烏斯說：“是的，知道的話，就引入到二五這個模型中。”
克萊因說：“或許是三維，是三維空間的五維翻轉還會迴到自己自身來。”
莫比烏斯說：“我們或許能發現這個東西，並且能夠用很多特定的性質來規範它，隻是在腦海中去想象就很困難了，我們隻能想象到局部。”
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平麵上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。
比如在普通空間無法實現的“手套易位“問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麽扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麽解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手係的，另一個是右手係的，它們之間有著極大的不同。
用扭結來打比方，如果把它看作平麵上的曲線的話，那麽它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。
莫比烏斯對克萊因說：“咱們談完了莫比烏斯帶和克萊因瓶。咱們要看看推廣到高維的三維的東西。”
克萊因說：“克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球麵或輪胎麵是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲麵。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們隻好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維度再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。”
莫比烏斯說：“莫比烏斯帶這個平麵東西在三維中才會有全部形狀，克萊因瓶在四維中才能看出那種連續扭曲的變化。那二維的帶子或者平麵在五維空間會形成一種怎樣的不分內外的結構？”
克萊因說：“這是個有趣的問題，很難想象，我們要不要放棄研究？”
莫比烏斯說：“不但不放棄研究，而且要找到一種固定的東西來研究，比如左右變化的對稱性這種東西，莫比烏斯帶可以從左邊連續變化到右麵，而克萊因瓶可以從外麵連續變化到裏麵。那麽更高維的變化會比左右和內外更加深刻，取個名字就深內和深外，這種就是深內會變化為深外。”
克萊因說：“你說的具體是什麽東西，什麽狀態叫深內，是多個東西的內部就深內嗎？多個東西的外部叫深外？經過二維麵在五維空間中的變換，多個內部的東西會被翻轉成多個外部的？你想說的深刻的推廣，就是這樣的推廣嗎？”
莫比烏斯說：“多個東西的內部叫深刻的內部？除此以外就沒有其他深刻的內部了？或者是深刻的左右了嗎？”莫比烏斯在想俄羅斯套娃這種類型的算不算是更深的深處，同時如何將這種深處反演出來。或者是連續的有厚度的密度不同的帶梯度的深處，是否也可以反演翻出來。
克萊因說：“依你這麽說，是不是我們需要在現實世界中留意一下，哪裏的乾坤是具備可以相互顛倒的性質的是嗎？”
莫比烏斯說：“是的，知道的話，就引入到二五這個模型中。”
克萊因說：“或許是三維，是三維空間的五維翻轉還會迴到自己自身來。”
莫比烏斯說：“我們或許能發現這個東西，並且能夠用很多特定的性質來規範它，隻是在腦海中去想象就很困難了，我們隻能想象到局部。”