初等函數的積分在何條件下仍為初等函數，也是他著重討論的問題。
劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和c.雅可比(jacobi)所建立的橢圓函數理論正處於蓬勃發展時期。
1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數的周期個數不多於2，周期之比為非實數)出發，建立雙周期橢圓函數的一套完整理論體係。
兩位德國數學家c.w.博爾夏特(bor－chardt)和f.約赫姆塔爾(joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況。
c.w.博爾夏特對劉維爾說：“聽說，你最近在研究橢圓函數理論？”
劉維爾說：“肯定的，這是未來的大趨勢。”
c.w.博爾夏特說：“一個橢圓函數，如何跟二維周期函數成為一迴事的呢？”
f.約赫姆塔爾說：“我覺得這樣的理論不靠譜。”
c.w.博爾夏特說：“心裏覺得奇怪，我們雖然經曆了這樣的構造過程，但是還是覺得不可思議。難道數學以後就是要這樣研究的嗎？”
劉維爾說：“你們不僅僅要適應，還要把這種連續不斷的變化變成常態才能更好的研究。”
c.w.博爾夏特說：“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函數在複空間內，有一種圓環的形狀。”
f.約赫姆塔爾說：“然後是二維空間中也找到了這樣的結構？”
劉維爾說：“是的，這兩者間有關聯，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維周期函數上。”
c.w.博爾夏特說：“你有什麽發現嗎？”
劉維爾像兩個數學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函數論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數的實質性質，如下：
劉維爾第1定理：在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數是常數；
劉維爾第2定理：橢圓函數在任一周期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；
劉維爾第3定理：n階橢圓函數在一個周期平行四邊形內取任一值n次；
劉維爾第4定理：在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個周期。
後來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數課程，也在c.a.布裏奧(briot)與j.c.布凱(bou－quet)所著《雙周期函數論》(théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到係統介紹。因此，盡管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播並產生影響，雙周期函數的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜誌》上。
劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和c.雅可比(jacobi)所建立的橢圓函數理論正處於蓬勃發展時期。
1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數的周期個數不多於2，周期之比為非實數)出發，建立雙周期橢圓函數的一套完整理論體係。
兩位德國數學家c.w.博爾夏特(bor－chardt)和f.約赫姆塔爾(joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況。
c.w.博爾夏特對劉維爾說：“聽說，你最近在研究橢圓函數理論？”
劉維爾說：“肯定的，這是未來的大趨勢。”
c.w.博爾夏特說：“一個橢圓函數，如何跟二維周期函數成為一迴事的呢？”
f.約赫姆塔爾說：“我覺得這樣的理論不靠譜。”
c.w.博爾夏特說：“心裏覺得奇怪，我們雖然經曆了這樣的構造過程，但是還是覺得不可思議。難道數學以後就是要這樣研究的嗎？”
劉維爾說：“你們不僅僅要適應，還要把這種連續不斷的變化變成常態才能更好的研究。”
c.w.博爾夏特說：“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函數在複空間內，有一種圓環的形狀。”
f.約赫姆塔爾說：“然後是二維空間中也找到了這樣的結構？”
劉維爾說：“是的，這兩者間有關聯，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維周期函數上。”
c.w.博爾夏特說：“你有什麽發現嗎？”
劉維爾像兩個數學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函數論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數的實質性質，如下：
劉維爾第1定理：在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數是常數；
劉維爾第2定理：橢圓函數在任一周期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；
劉維爾第3定理：n階橢圓函數在一個周期平行四邊形內取任一值n次；
劉維爾第4定理：在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個周期。
後來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數課程，也在c.a.布裏奧(briot)與j.c.布凱(bou－quet)所著《雙周期函數論》(théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到係統介紹。因此，盡管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播並產生影響，雙周期函數的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜誌》上。