黎曼成功畢業了,但還是個困難戶。為了謀生,他希望能成為講師,黎曼申請了無薪講師,是指學校不提供固定的薪酬,收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。而想要成為講師,不但要提交論文,還得給學院的教授做一個資格演講。於是在1853年,黎曼提交了一份求職論文。


    論文中推廣了保證博裏葉展開式成立的狄利克萊條件,即關於三角級數收斂的黎曼條件,研究出三角級數收斂的準則,並定義了黎曼積分,對完善分析理論產生深遠的影響。


    當時的資格演講是有一套固定模式和傳統的,申請者須向係主任提交三個演講題目,但通常隻準備前兩個題目。作為選題目的係主任會為了不為難申請者,一般隻選前兩個題目中的一個。


    如此看來,黎曼其實能夠輕易就通過演講的,隻是他遺忘了一點,那就是當時的係主任是高斯,而高斯壓根不知道這個規矩,然後黎曼悲劇了。


    黎曼申請講師需要就職演講,演講的審核人都是數學家的專家人物,其中也有高斯。


    黎曼準備夠幾個題目讓審核人挑選其中之一,讓黎曼講解被挑選的題目。


    這些題目都是前沿的數學,是考察講師的水平的。


    高斯對黎曼給出的幾個題目進行選擇,高斯選擇了一個比較奇怪的題目《關於幾何學的基本假設》。高斯選這個題目是想看看黎曼跟自己的認識觀是否相同。高斯最近在思考環繞數的概念,這是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上,環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數,但有可能取正數或負數,取決於這兩條曲線的定向。


    黎曼先是驚了一下,這是黎曼為了湊夠數目的一個題目,自己沒有打算要講,卻被高斯抽中,而且自己隻有一個星期的準備時間了。


    沒辦法,黎曼隻能趕緊準備,然後硬著頭皮上。


    黎曼有些後悔,覺得這次的無薪講師申請不上,恐怕自己以後沒有任何可以糊口的工作了。畢竟搞數學隻能在大學裏,社會上哪裏用得著?看來高斯有點針對自己。


    黎曼開始就職演說,講《關於幾何學的基本假設》。


    “……幾何學的對象缺乏先驗的定義,歐幾裏德的公理隻是假設了未定義的幾何對象之間的關係,而我們卻不知道這些關係怎麽來的,甚至不知道為什麽幾何對象之間會存在關係……”


    老師們聽得麵麵相覷,不知道黎曼講了什麽,隻有高斯略有所思。高斯想起了自己被校領導刁難的樣子,從黎曼身上看到自己的影子。


    “……我認為,幾何對象應該是一些多度延展的量,體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間隻是一個特殊的三度延展的量,因此歐幾裏德的公理隻能從經驗導出,而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就隻是假設而已。但是,我們可以考察這些定理成立的可能性,然後再試圖把它們推廣到我們日常觀察的範圍之外的幾何。……”


    老師們有點想打斷這個演講,但是沒好意思讓他停止。高斯沉浸在扭結問題問題中,這是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題,即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時,如何隻通過觀察,就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外,還有研究如何給扭結分類的問題。


    “……我認為應該有一個n維流形的概念,即流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質,並闡述了關於延展性、維數、以及將延展性數量化的想法。……”


    老師們聽完了黎曼的講解後,表示紛紛聽不懂。


    而高斯則說:“太棒了,幾何應該變革了,以前的幾何學無法再滿足當下的要求了。”


    整個過程中,他特別指出了日常生活中不適用歐幾裏得規則的例子,比如球麵。在球麵上所有經線都與赤道相交呈90°,因此這些經線會彼此平行,卻在極點相交。


    就這樣,一個小時的《論作為幾何基礎的假設》演講成為了數學史上發表的內容最豐富的長篇論文,而且在表述方麵也堪稱典範,勾勒出一個截然不同的幾何世界(超越了歐幾裏得的幾何世界)。


    這次的演講不但發揚了高斯關於曲麵的微分幾何研究,建立了黎曼空間的概念,還開創了黎曼幾何,為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。因此高斯興奮不已,順利讓黎曼獲得了講師職位。


    在黎曼之後,龐加萊繼續研究黎曼留下來的n維流形,他創立了用剖分來研究流形的基本方法,同時引進了許多不變量:基本群、同調、貝蒂數、撓係數。不過最著名的,還是他在研究三維流形時留下的“龐加萊猜想”。

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