李普希茨是德國數學家、物理學家。主要研究數學分析、數論、微分方程、多維幾何、力學和物理。
1859年，他發表了關於借助線積分給出貝塞爾函數的漸近展開式的嚴格研究。
1864年，在研究傅立葉級數收斂性時，給出了以他的姓命名的充分條件。
1876年，他改進了柯西關於常微分方程存在定理的條件。現在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對n維空間的子空間給出了一些新的結果。
他還是微分不變量研究的創始人之一，在其工作中已出現了共變微分這種運算。
狄利克雷對利普希茨抱有希望，利普希茨聽話，而且有才華。
如果讓他研究一種重要的細節，肯定是有戲的。
先讓利普希茨去研究關於函數映射的問題。
狄利克雷讓利普希茨開始研究連續映射的概念。
設x，y為任意兩個集合，映射f：x→y，對於x0∈x，有y0=f(x0)，如果對於y0的任意鄰域u(y0)，總能找到x0的鄰域u(x0)，使得f(u(x0))?u(y0)。則稱映射f在點x0是連續的。如果映射f在集合x的每一點都是連續的，則稱映射f為x上的連續映射。
奧托·赫爾德和普利希茨都開始研究除了三維坐標係的連續性，還有什麽樣的連續映射？
赫爾德說：“度量空間也是可以連續映射的。”
利普希茨說：“不是三維空間那種勾股定理的距離，而是單個變量的差值，就去代表距離。”
赫爾德說：“想要讓它變得合法化，是不是需要弄清它是不是連續映射的？”
利普希茨說：“起碼先要符合連續映射的條件，要不然，肯定不能這樣用。”
赫爾德說：“因變量的差值，是自變量差值的幾次方乘以一個常數。”
利普希茨說：“不需要這樣，隻要一次方即可。”
後來a次方的赫爾德條件，也被稱為a階的利普希茨條件。
之後，弗雷歇開始在1910年考慮抽象空間的連續映射。
利普希茨連續的幾何意義是什麽？怎麽較好的理解它呢？
以陸地為例。
島嶼：不連續
一般陸地：連續
丘陵：李普希茲連續
懸崖：非李普希茲連續
山包：可導平原：線性
半島：非凸
想了半天用什麽來表達亞連續（semi-continuity），好像隻能用瀑布了。稍微具體點的話，李普希茲連續就是說，一塊地不僅沒有河流什麽的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？這就是所謂的李普希茲常數。懸崖的出現導致最陡的地方有“無窮陡”，所以不是李普希茲連續。
利普希茨連續不就是函數上任意兩點連線的斜率是有界的嗎？也就是斜率不能無窮大。考慮f(x)=sqrt(x)這個函數雖然在(0，+無窮)上一致連續，但是兩點間斜率可以無限大，因此不是利普希茨連續。
1859年，他發表了關於借助線積分給出貝塞爾函數的漸近展開式的嚴格研究。
1864年，在研究傅立葉級數收斂性時，給出了以他的姓命名的充分條件。
1876年，他改進了柯西關於常微分方程存在定理的條件。現在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對n維空間的子空間給出了一些新的結果。
他還是微分不變量研究的創始人之一，在其工作中已出現了共變微分這種運算。
狄利克雷對利普希茨抱有希望，利普希茨聽話，而且有才華。
如果讓他研究一種重要的細節，肯定是有戲的。
先讓利普希茨去研究關於函數映射的問題。
狄利克雷讓利普希茨開始研究連續映射的概念。
設x，y為任意兩個集合，映射f：x→y，對於x0∈x，有y0=f(x0)，如果對於y0的任意鄰域u(y0)，總能找到x0的鄰域u(x0)，使得f(u(x0))?u(y0)。則稱映射f在點x0是連續的。如果映射f在集合x的每一點都是連續的，則稱映射f為x上的連續映射。
奧托·赫爾德和普利希茨都開始研究除了三維坐標係的連續性，還有什麽樣的連續映射？
赫爾德說：“度量空間也是可以連續映射的。”
利普希茨說：“不是三維空間那種勾股定理的距離，而是單個變量的差值，就去代表距離。”
赫爾德說：“想要讓它變得合法化，是不是需要弄清它是不是連續映射的？”
利普希茨說：“起碼先要符合連續映射的條件，要不然，肯定不能這樣用。”
赫爾德說：“因變量的差值，是自變量差值的幾次方乘以一個常數。”
利普希茨說：“不需要這樣，隻要一次方即可。”
後來a次方的赫爾德條件，也被稱為a階的利普希茨條件。
之後，弗雷歇開始在1910年考慮抽象空間的連續映射。
利普希茨連續的幾何意義是什麽？怎麽較好的理解它呢？
以陸地為例。
島嶼：不連續
一般陸地：連續
丘陵：李普希茲連續
懸崖：非李普希茲連續
山包：可導平原：線性
半島：非凸
想了半天用什麽來表達亞連續（semi-continuity），好像隻能用瀑布了。稍微具體點的話，李普希茲連續就是說，一塊地不僅沒有河流什麽的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？這就是所謂的李普希茲常數。懸崖的出現導致最陡的地方有“無窮陡”，所以不是李普希茲連續。
利普希茨連續不就是函數上任意兩點連線的斜率是有界的嗎？也就是斜率不能無窮大。考慮f(x)=sqrt(x)這個函數雖然在(0，+無窮)上一致連續，但是兩點間斜率可以無限大，因此不是利普希茨連續。