雖說數學悖論大多是一些讓人越想越糊塗的邏輯思維遊戲，但也有不少悖論來自於實實在在的數學問題。在缺乏現代數學工具的年代，這些反直覺的結論和看似不可調和的矛盾讓數學家們百思不得其解，那些最難解決的悖論甚至為數學新分支的開創帶來了足夠的動機。不太為人熟知的 cramer 悖論就是一個漂亮的例子。
在描述 cramer 悖論之前，讓我們先來考慮一個簡單的情況。
兩條直線交於一點。
反過來，過一點可以做兩條不同的直線。
事實上，過一點可以做無數條直線。
確定一條直線需要兩個點才夠。
一切都很正常。
現在，考慮平麵上的兩條三次曲線。
由於將兩個二元三次方程聯立求解，最多可以得到 9 組不同的解，因此兩條三次曲線最多有 9 個交點。另外，三次曲線的一般形式為
x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0
這裏麵一共有 9 個未知係數。
代入曲線上的 9 組不同的(x， y)，我們就能得出 9 個方程，解出這 9 個未知係數，恢複出這個三次曲線的原貌。
也就是說，平麵上的 9 個點唯一地確定了一個三次曲線。
這次貌似就出問題了：“兩條三次曲線交於 9 個點”和 “ 9 個點唯一地確定一條三次曲線”怎麽可能同時成立呢？
既然這 9 個點是兩條三次曲線所共有的，那它們究竟會“唯一地”確定出哪條曲線呢？
在沒有線性代數的年代，這是一個令人匪夷所思的問題。
cramer 和 euler 是同一時代的兩位大數學家。
他們曾就代數曲線問題有過不少信件交流。
上麵這個問題就是 1744 年 9 月 30 日 cramer 在給 euler 的信中提出來的。
在信中， cramer 擺出了兩個稍作思考便能看出顯然成立的事實：一條三次曲線能用 9 個點唯一地確定下來，兩條三次曲線可能產生出 9 個交點。
cramer 向 euler 提出了自己的疑問：這兩個結論怎麽可能同時成立呢？
euler 心中的疑問不比 cramer 的少。
接下來的幾年裏，他都在尋找這個矛盾產生的源頭。
1748 年， euler 發表了一篇題為 sur une contradiction apparente dans doctrine des lignes courbes （關於曲線規律中的一個明顯的矛盾）的文章，嚐試著解決這一難題。
正如大家所想，矛盾的源頭就是， 9 個點不見得能唯一地確定出三次曲線的方程，因為不是每個點的位置都能給我們帶來足夠的信息。
euler 試圖向人們解釋這樣一件事情：曲線上的 9 個點雖然給出了 9 個不同的方程，但有時它們並不能唯一地解出那 9 個未知數，因為有些方程是廢的。
在沒有線性代數的年代，解釋這件事情並不容易。
euler 舉了一個最簡單的例子：方程組
3x ? 2y = 5
4y = 6x ? 10
表麵上存在唯一解，但事實上兩個方程的本質相同——第一個方程乘以 2 再移項後就直接變成第二個方程了。
換句話說，後一個方程並沒有給我們帶來新的信息，有它沒它都一樣。
當然，這隻是一個最為簡單的例子。
在當時，真正讓人大開眼界的則是 euler 文中給出的三元一次方程組：
2x ? 3y + 5z = 8
3x ? 5y + 7z = 9
x ? y + 3z = 7
這個方程組也沒有唯一解，原因就很隱蔽了：後兩個方程之和其實是第一個方程的兩倍，換句話說第一個方程本來就能由另外兩個方程推出來。
因此，整個方程組本質上隻有兩個不同的方程，它們不足以確定出三個未知數來。
euler 還給出了一個四元一次方程組的例子，向人們展示了更加複雜的情況。
類似地， 9 個九元一次方程當然也會因為出現重複信息而不存在唯一解，不過具體情況幾乎無法預料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三個方程的和。
究竟什麽叫做一個方程“提供了新的信息”，用什麽來衡量一個方程組裏的信息量，怎樣的方程組才會有唯一解？
euler 承認，“要想給出一個一般情況下的公式是很困難的”。
此時大家或許能體會到， euler 提出的這些遺留問題太具啟發性了，當時的數學研究者們看到之後必然是渾身血液沸騰。
包括 cramer 在內的數學家們沿著 euler 的思路繼續想下去，一個強大的數學新工具——線性代數——逐漸開始成型。
沒錯，這個 cramer 正是後來提出線性代數一大基本定理—— cramer 法則——的那個人。
在描述 cramer 悖論之前，讓我們先來考慮一個簡單的情況。
兩條直線交於一點。
反過來，過一點可以做兩條不同的直線。
事實上，過一點可以做無數條直線。
確定一條直線需要兩個點才夠。
一切都很正常。
現在，考慮平麵上的兩條三次曲線。
由於將兩個二元三次方程聯立求解，最多可以得到 9 組不同的解，因此兩條三次曲線最多有 9 個交點。另外，三次曲線的一般形式為
x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0
這裏麵一共有 9 個未知係數。
代入曲線上的 9 組不同的(x， y)，我們就能得出 9 個方程，解出這 9 個未知係數，恢複出這個三次曲線的原貌。
也就是說，平麵上的 9 個點唯一地確定了一個三次曲線。
這次貌似就出問題了：“兩條三次曲線交於 9 個點”和 “ 9 個點唯一地確定一條三次曲線”怎麽可能同時成立呢？
既然這 9 個點是兩條三次曲線所共有的，那它們究竟會“唯一地”確定出哪條曲線呢？
在沒有線性代數的年代，這是一個令人匪夷所思的問題。
cramer 和 euler 是同一時代的兩位大數學家。
他們曾就代數曲線問題有過不少信件交流。
上麵這個問題就是 1744 年 9 月 30 日 cramer 在給 euler 的信中提出來的。
在信中， cramer 擺出了兩個稍作思考便能看出顯然成立的事實：一條三次曲線能用 9 個點唯一地確定下來，兩條三次曲線可能產生出 9 個交點。
cramer 向 euler 提出了自己的疑問：這兩個結論怎麽可能同時成立呢？
euler 心中的疑問不比 cramer 的少。
接下來的幾年裏，他都在尋找這個矛盾產生的源頭。
1748 年， euler 發表了一篇題為 sur une contradiction apparente dans doctrine des lignes courbes （關於曲線規律中的一個明顯的矛盾）的文章，嚐試著解決這一難題。
正如大家所想，矛盾的源頭就是， 9 個點不見得能唯一地確定出三次曲線的方程，因為不是每個點的位置都能給我們帶來足夠的信息。
euler 試圖向人們解釋這樣一件事情：曲線上的 9 個點雖然給出了 9 個不同的方程，但有時它們並不能唯一地解出那 9 個未知數，因為有些方程是廢的。
在沒有線性代數的年代，解釋這件事情並不容易。
euler 舉了一個最簡單的例子：方程組
3x ? 2y = 5
4y = 6x ? 10
表麵上存在唯一解，但事實上兩個方程的本質相同——第一個方程乘以 2 再移項後就直接變成第二個方程了。
換句話說，後一個方程並沒有給我們帶來新的信息，有它沒它都一樣。
當然，這隻是一個最為簡單的例子。
在當時，真正讓人大開眼界的則是 euler 文中給出的三元一次方程組：
2x ? 3y + 5z = 8
3x ? 5y + 7z = 9
x ? y + 3z = 7
這個方程組也沒有唯一解，原因就很隱蔽了：後兩個方程之和其實是第一個方程的兩倍，換句話說第一個方程本來就能由另外兩個方程推出來。
因此，整個方程組本質上隻有兩個不同的方程，它們不足以確定出三個未知數來。
euler 還給出了一個四元一次方程組的例子，向人們展示了更加複雜的情況。
類似地， 9 個九元一次方程當然也會因為出現重複信息而不存在唯一解，不過具體情況幾乎無法預料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三個方程的和。
究竟什麽叫做一個方程“提供了新的信息”，用什麽來衡量一個方程組裏的信息量，怎樣的方程組才會有唯一解？
euler 承認，“要想給出一個一般情況下的公式是很困難的”。
此時大家或許能體會到， euler 提出的這些遺留問題太具啟發性了，當時的數學研究者們看到之後必然是渾身血液沸騰。
包括 cramer 在內的數學家們沿著 euler 的思路繼續想下去，一個強大的數學新工具——線性代數——逐漸開始成型。
沒錯，這個 cramer 正是後來提出線性代數一大基本定理—— cramer 法則——的那個人。