對於一個給定的感知器來說，它的權重和閾值也是給定的，代表一種決策策略。因此，我們可以通過調整權重和閾值來改變這個策略。
關於閾值threshold，這裏需要指出的一點是，為了表達更方便，一般用它的相反數來表達：b=-threshold，這裏的b被稱為偏置（bias）。
這樣，前麵計算輸出的規則就修改為：如果w1x1+w2x2+w3x3+...+b>0，則輸出output=1，否則輸出output=0。
而權重w1=w2=-2，則b=3。
很明顯，隻有當x1=x2=1的時候，output=0，因為(?2)*1+(?2)*1+3=?1，小於0。而其它輸入的情況下，都是output=1。
所以在實際情況下，這其實是一個“與非門”！
在計算機科學中，與非門是所有門部件中比較特殊的一個，它可以通過組合的方式表達任何其它的門部件。這被稱為與非門的普適性(gateuniversality)。
既然感知器能夠通過設置恰當的權重和偏置參數，來表達一個與非門，那麽理論上它也就能表達任意其它的門部件。
因此，感知器也能夠像前麵三體中的例子一樣，通過彼此連接從而組成一個計算機係統。
但這似乎沒有什麽值得驚喜的，我們已經有現成的計算機了，這隻不過是讓事情複雜化了而已。
單個感知器能做的事情很有限。要做複雜的決策，所以則是需要將多個感知器連接起來。
而實際中的網絡可能會有上萬個，甚至數十萬個參數，如果手工一個一個地去配置這些參數，恐怕這項任務永遠也完成不了了。
而神經網絡最有特色的地方就在於這裏。
我們不是為網絡指定所有參數，而是提供訓練數據，讓網絡自己在訓練中去學習，在學習過程中為所有參數找到最恰當的值。
大體的運轉思路是這樣：我們告訴網絡當輸入是某個值的時候，我們期望的輸出是什麽，這樣的每一份訓練數據，稱為訓練樣本（trainingexample）。
這個過程相當於老師在教學生某個抽象的知識的時候，舉一個具體例子：
一般來說，我們舉的例子越多，就越能表達那個抽象的知識。這在神經網絡的訓練中同樣成立。
我們可以向網絡灌入成千上萬個訓練樣本，然後網絡就自動從這些樣本中總結出那份隱藏在背後的抽象的知識。
這份知識的體現，就在於網絡的所有權重和偏置參數的取值。
假設各個參數有一個初始值，當我們輸入一個訓練樣本的時候，它會根據當前參數值計算出唯一的一個實際輸出值。
這個值可能跟我們期望的輸出值不一樣。想象一下，這時候，我們可以試著調整某些參數的值，讓實際輸出值和期望輸出值盡量接近。
當所有的訓練樣本輸入完畢之後，網絡參數也調整到了最佳值，這時每一次的實際輸出值和期望輸出值已經無限接近，這樣訓練過程就結束了。
假設在訓練過程中，網絡已經對數萬個樣本能夠給出正確（或接近正確）的反應了，那麽再給它輸入一個它沒見過的數據，它也應該有很大概率給出我們預期的決策。這就是一個神經網絡工作的原理。
但這裏還有一個問題，在訓練過程中，當實際輸出值和期望輸出值產生差異的時候，要如何去調整各個參數呢？
當然，在思考怎麽做之前，也應該先弄清楚：通過調整參數的方式獲得期望的輸出，這個方法行得通嗎？
實際上，對於感知器網絡來說，這個方法基本不可行。
比如在上圖有39個參數的感知器網絡中，如果維持輸入不變，我們改變某個參數的值，那麽最終的輸出基本完全不可預測。
它或者從0變到1（或從1變到0），當然也可能維持不變。這個問題的關鍵在於：輸入和輸出都是二進製的，隻能是0或者1。
如果把整個網絡看成一個函數（有輸入，有輸出），那麽這個函數不是連續的。
因此，為了讓訓練成為可能，我們需要一個輸入和輸出能夠在實數上保持連續的神經網絡。於是，這就出現了sigmoid神經元。
sigmoid神經元(sigmoidneuron)是現代神經網絡經常使用的基本結構（當然不是唯一的結構）。它與感知器的結構類似，但有兩個重要的區別。
第一，它的輸入不再限製為0和1，而可以是任意0~1之間的實數。
第二，它的輸出也不再限製為0和1，而是將各個輸入的加權求和再加上偏置參數，經過一個稱為sigmoid函數的計算作為輸出。
具體來說，假設z=w1x1+w2x2+w3x3+...+b，那麽輸出output=σ(z)，其中：σ(z)=1/(1+e-z)。
σ(z)是一個平滑、連續的函數。而且，它的輸出也是0~1之間的實數，這個輸出值可以直接作為下一層神經元的輸入，保持在0~1之間。
可以想象，在采用sigmoid神經元組裝神經網絡之後，網絡的輸入和輸出都變為連續的了，也就是說，當我們對某個參數的值進行微小的改變的時候，它的輸出也隻是產生微小的改變。這樣就使得逐步調整參數值的訓練成為可能。
在曆史上，很多研究人員曾經也做過嚐試，michaelnielsen的書《neuralorgworksanddeeplearning》這本書中也曾經提到過這個例子。
這個神經網絡隻有一層隱藏層，屬於淺層的神經網絡(shallowneuralorgworks)。而真正的深度神經網絡(deepnerualorgworks)，則會有多層隱藏層。
神經元係統采用了左右腦半球的設計方式進行設計和製造。
最右側則是輸出層(outpuyer)，有10個神經元節點，分別代表識別結果是0，1，2，...，9。當然，受sigmoid函數σ(z)的限製，每個輸出也肯定是0~1之間的數。
那我們在得到一組輸出值之後，哪個輸出的值最大，最終的識別結果就是它。
而在訓練的時候，輸出的形式則是：正確的那個數字輸出為1，其它輸出為0，隱藏層和輸出層之間也是全連接。
神經網絡共的權重參數有784*15+15*10=11910個，偏置參數有15+10=25個，總共參數個數為：11910+25=11935個。
這是一個非常驚人的數字。
關於閾值threshold，這裏需要指出的一點是，為了表達更方便，一般用它的相反數來表達：b=-threshold，這裏的b被稱為偏置（bias）。
這樣，前麵計算輸出的規則就修改為：如果w1x1+w2x2+w3x3+...+b>0，則輸出output=1，否則輸出output=0。
而權重w1=w2=-2，則b=3。
很明顯，隻有當x1=x2=1的時候，output=0，因為(?2)*1+(?2)*1+3=?1，小於0。而其它輸入的情況下，都是output=1。
所以在實際情況下，這其實是一個“與非門”！
在計算機科學中，與非門是所有門部件中比較特殊的一個，它可以通過組合的方式表達任何其它的門部件。這被稱為與非門的普適性(gateuniversality)。
既然感知器能夠通過設置恰當的權重和偏置參數，來表達一個與非門，那麽理論上它也就能表達任意其它的門部件。
因此，感知器也能夠像前麵三體中的例子一樣，通過彼此連接從而組成一個計算機係統。
但這似乎沒有什麽值得驚喜的，我們已經有現成的計算機了，這隻不過是讓事情複雜化了而已。
單個感知器能做的事情很有限。要做複雜的決策，所以則是需要將多個感知器連接起來。
而實際中的網絡可能會有上萬個，甚至數十萬個參數，如果手工一個一個地去配置這些參數，恐怕這項任務永遠也完成不了了。
而神經網絡最有特色的地方就在於這裏。
我們不是為網絡指定所有參數，而是提供訓練數據，讓網絡自己在訓練中去學習，在學習過程中為所有參數找到最恰當的值。
大體的運轉思路是這樣：我們告訴網絡當輸入是某個值的時候，我們期望的輸出是什麽，這樣的每一份訓練數據，稱為訓練樣本（trainingexample）。
這個過程相當於老師在教學生某個抽象的知識的時候，舉一個具體例子：
一般來說，我們舉的例子越多，就越能表達那個抽象的知識。這在神經網絡的訓練中同樣成立。
我們可以向網絡灌入成千上萬個訓練樣本，然後網絡就自動從這些樣本中總結出那份隱藏在背後的抽象的知識。
這份知識的體現，就在於網絡的所有權重和偏置參數的取值。
假設各個參數有一個初始值，當我們輸入一個訓練樣本的時候，它會根據當前參數值計算出唯一的一個實際輸出值。
這個值可能跟我們期望的輸出值不一樣。想象一下，這時候，我們可以試著調整某些參數的值，讓實際輸出值和期望輸出值盡量接近。
當所有的訓練樣本輸入完畢之後，網絡參數也調整到了最佳值，這時每一次的實際輸出值和期望輸出值已經無限接近，這樣訓練過程就結束了。
假設在訓練過程中，網絡已經對數萬個樣本能夠給出正確（或接近正確）的反應了，那麽再給它輸入一個它沒見過的數據，它也應該有很大概率給出我們預期的決策。這就是一個神經網絡工作的原理。
但這裏還有一個問題，在訓練過程中，當實際輸出值和期望輸出值產生差異的時候，要如何去調整各個參數呢？
當然，在思考怎麽做之前，也應該先弄清楚：通過調整參數的方式獲得期望的輸出，這個方法行得通嗎？
實際上，對於感知器網絡來說，這個方法基本不可行。
比如在上圖有39個參數的感知器網絡中，如果維持輸入不變，我們改變某個參數的值，那麽最終的輸出基本完全不可預測。
它或者從0變到1（或從1變到0），當然也可能維持不變。這個問題的關鍵在於：輸入和輸出都是二進製的，隻能是0或者1。
如果把整個網絡看成一個函數（有輸入，有輸出），那麽這個函數不是連續的。
因此，為了讓訓練成為可能，我們需要一個輸入和輸出能夠在實數上保持連續的神經網絡。於是，這就出現了sigmoid神經元。
sigmoid神經元(sigmoidneuron)是現代神經網絡經常使用的基本結構（當然不是唯一的結構）。它與感知器的結構類似，但有兩個重要的區別。
第一，它的輸入不再限製為0和1，而可以是任意0~1之間的實數。
第二，它的輸出也不再限製為0和1，而是將各個輸入的加權求和再加上偏置參數，經過一個稱為sigmoid函數的計算作為輸出。
具體來說，假設z=w1x1+w2x2+w3x3+...+b，那麽輸出output=σ(z)，其中：σ(z)=1/(1+e-z)。
σ(z)是一個平滑、連續的函數。而且，它的輸出也是0~1之間的實數，這個輸出值可以直接作為下一層神經元的輸入，保持在0~1之間。
可以想象，在采用sigmoid神經元組裝神經網絡之後，網絡的輸入和輸出都變為連續的了，也就是說，當我們對某個參數的值進行微小的改變的時候，它的輸出也隻是產生微小的改變。這樣就使得逐步調整參數值的訓練成為可能。
在曆史上，很多研究人員曾經也做過嚐試，michaelnielsen的書《neuralorgworksanddeeplearning》這本書中也曾經提到過這個例子。
這個神經網絡隻有一層隱藏層，屬於淺層的神經網絡(shallowneuralorgworks)。而真正的深度神經網絡(deepnerualorgworks)，則會有多層隱藏層。
神經元係統采用了左右腦半球的設計方式進行設計和製造。
最右側則是輸出層(outpuyer)，有10個神經元節點，分別代表識別結果是0，1，2，...，9。當然，受sigmoid函數σ(z)的限製，每個輸出也肯定是0~1之間的數。
那我們在得到一組輸出值之後，哪個輸出的值最大，最終的識別結果就是它。
而在訓練的時候，輸出的形式則是：正確的那個數字輸出為1，其它輸出為0，隱藏層和輸出層之間也是全連接。
神經網絡共的權重參數有784*15+15*10=11910個，偏置參數有15+10=25個，總共參數個數為：11910+25=11935個。
這是一個非常驚人的數字。