2022年2月16日。
正月十六。
元宵節剛過。
沉寂了一個月的江大校園，再次變得喧鬧起來。
一大早，龐學林剛抵達辦公室，外麵突然傳來一陣吵鬧聲。
緊接著，龐學林的辦公室大門，砰的一下被人推開。
許久未見的佩雷爾曼急匆匆的闖了進來。
左亦秋也緊跟著從後麵追了上來，說道：“龐教授不好意思，我沒攔住這位先生……”
龐學林微微一愣，笑了起來，說道：“沒事，小左，你先出去吧。”
接著，他將目光轉向佩爾曼道：“格裏戈裏，找我有什麽事嗎？”
佩雷爾曼看起來蓬頭垢麵，滿臉大胡子，蜷曲的頭發披在腦後，看起來油膩膩的，也不知道多久沒洗了。
他穿了一身棕色的夾克，袖口漆黑一片。
龐學林有將近四五個月沒有見過佩雷爾曼了，兩人上次見麵還是在江城大學龐學林數學科學研究中心落成掛牌儀式上的時候，佩雷爾曼過來露了個臉，然後就匆匆的離開了。
最近這一年多的時間，他把全部精力都投入到了霍奇猜想研究中去。
“龐教授，我證明霍奇猜想了！”
佩雷爾曼揮舞著手中的稿紙，神情振奮道。
“證明霍奇猜想了？”
龐學林微微一愣，霍奇猜想的難度他很清楚。
在星際穿越世界，他被樹老困在五號行星的時候，花了大半年時間攻關過這個猜想，一直沒成功。
他都沒想到，在現實世界，佩雷爾曼竟然把這個猜想給解決了。
“我看看。”
佩雷爾曼將手中的稿紙遞給了龐學林。
龐學林稿紙，開始一頁頁的翻閱起來。
佩雷爾曼也不著急，大馬金刀的在一旁的小沙發上坐下。
沒過一會兒，左亦秋端著一杯熱氣騰騰的咖啡進來，放在了佩雷爾曼生身前。
隨後，左亦秋悄悄將辦公室門關上。
看了將近一個小時，龐學林放下手稿，沉吟片刻，說道：“你這個證明方法有點意思，你的手稿給新一看過了嗎？”
剛剛龐學林把這份手稿瀏覽了一遍，大概厘清楚了佩雷爾曼的證明思路。，
不過具體證明過程，還需要仔細研究。
“還沒。”
佩雷爾曼搖了搖頭道。
龐學林說道：“我把望月新一教授也找來，讓他跟著看看吧。”
說著，龐學林拿起桌上的電話，給望月新一撥了過去。
半小時後，望月新一急匆匆的來到了龐學林的辦公室。
看到佩雷爾曼也在，望月新一臉上流露出驚訝之色：“說道，格裏戈裏，你怎麽會在這裏？”
緊接著，望月新一似乎想到了什麽，眼中流露出不可思議的神色，說道：“你該不會把霍奇猜想給解決了吧？”
佩雷爾曼這段時間一直在閉關，他是知道的。
今天他突然過來找龐學林，在加上龐學林打電話給自己，望月新一一下子猜到了佩雷爾曼的來意。
佩雷爾曼點了點頭，沒有說話。
龐學林笑了起來，說道：“新一，這是佩爾曼關於霍奇猜想的證明手稿，你也看一看，是不是有什麽問題？”
說著，龐學林將剛剛複印好，還帶著一絲溫熱的手稿複印件遞給了望月新一。
剛剛在望月新一過來的過程中，龐學林將手稿複印了一邊。
“好！”
望月新一也不客氣，接過手稿，找了把椅子在龐學林的對麵坐下。
龐學林同樣拿出一份稿紙，在上麵寫寫畫畫。
辦公室裏安靜了下來。
龐學林和望月新一都在仔細研究者佩雷爾曼的手稿。
佩雷爾曼自己，則優哉遊哉地喝著咖啡。
他是一個很耐得住性子的人，就算沒人跟他說話，他一個人坐著，也能待上一整天。
時間一分一秒過去，臨近中午的時候，龐學林找來左亦秋，讓她幫三人訂三份外賣。
吃完飯，龐學林和望月新一繼續研究佩雷爾曼的手稿。
龐學林按照佩雷爾曼的思路，試圖將整個霍奇猜想的證明過程從頭到尾推演一遍。
不知不覺間，到了下午三點多。
望月新一終於抬起頭說道：“我感覺整體思路沒什麽問題，但細節推論，還需要進一步研究。”
佩雷爾曼不由得鬆了一口氣，臉上露出笑容，將目光轉向龐學林道：“龐教授，你怎麽看？”
龐學林沒有說話，沉吟片刻，出聲道：“格裏戈裏，你過來一下。在手稿的第五頁，引理3.3.4中：??是定義在黎曼流形??4中的區域Ω上無臨界點的光滑函數。在區域Ω中??的最速下降線是水平集的正交曲線。換句話說，無臨界點函數??的最速下降線就是在區域內切向量場???的積分曲線。這裏你準備如何求解水平集和最速下降線曲率？”
佩雷爾曼沉思片刻，拿起筆，在稿紙上寫道：
【設{???1，???2}是單位正交切標架，若???1是曲線的單位切向量，那麽光滑曲線的測地曲率為??=，其中??是曲線的弧長參數.由{???1，???2}是單位正交切標架，測地曲率同樣可以表示為??=?<???1，d???2d??>=?div(???2)，這等價於說，光滑曲線的測地曲率是曲線的單位法向量的微分。】
龐學林淡淡一笑，對佩雷爾曼的解釋不可置否，又翻到了第十頁，指著上麵的證明道：“那這裏，在空間形式????中，??是定義在嚴格凸環??2???1上的調和函數，??連續到??2???1。若??滿足??|????1=1，??(??)>0，???∈??2???1，並且??的水平集嚴格凸。你在最後部分是如何給出極值原理的？”
佩雷爾曼繼續解釋：【Ω是????中有界連通區域，??∈??2(Ω)????(Ω)，在Ω上考慮算子??????=??????(??)????????+????(??)??????+??(??)??……】
“那這裏呢？??是具有常截麵曲率的黎曼流形????上的光滑函數，????????和????分別是????上的riemannian曲率張量和ri曲率，那麽??????=????????+??????????????和????????=???????????2????????????????+????????????+r??????????……這個如何證明？”
【取1≤??，??，??，??，??≤??，1≤??≤??+1。取????中的正交標架場{???1，???2，……，?????，?????+1}，其中?????+1為外法向，則{???1，???2，……，???i}為切標架場，且???=?????+1，運動方程為……】
……
在一旁觀看的望月新一有些奇怪，龐學林怎麽老是在黎曼流形問題上打轉，而且問的都是一些比較淺顯的問題，有些引理或者定義，推導出來是非常顯而易見的。
倒是佩雷爾曼並沒有表現出多少不耐煩的神情，基本上龐學林問什麽，他就解釋什麽。
時間一分一秒過去，不知不覺，又過了一個多小時。
龐學林終於圖窮匕見：“你這裏由一個緊致無邊的n維流形m的同調群hn（m，z）=0，推出m是不可定向的，然後我們由定理4.6.7可知，所有偶數維的射影空間都是不可定向的，它們的定向二重覆蓋空間是同維數的球麵，那麽我想問一下，定向二重覆蓋為環麵t^2的克萊因瓶，它的空間曲率是黎曼流形上的光滑函數嗎？”
龐學林這話一出口，不僅佩雷爾曼呆滯了，就連望月新一也呆住了。
這是一個極為細微的邏輯漏洞，從初始設定一直到四維克萊因瓶的定向問題，相當於霍奇猜想證明全過程的基礎。
假如這一段出現問題了，那麽基本上意味著整個證明過程有著重大缺陷。
但望月新一震驚的並非是這一點。
而是龐學林竟然能夠在這麽短的時間內，就察覺到了如此細微的邏輯漏洞。
要知道佩雷爾曼的手稿一共三十多頁，他還省略了很多環節，如果把這部分手稿轉換成論文，至少還要再補充一半以上的內容。
之前望月新一花了將近五小時的時間，才算將這篇論文細細讀完。
要說理解的話，望月新一隻能說看明白了佩雷爾曼的整體證明思路，對裏麵的一些細節，他還要花幾天時間研究。
而龐學林在讀完這篇論文的同時，竟然在如此短的時間內，完全理解了佩雷爾曼的證明思路，甚至還發現了其中存在的非常細微的漏洞。
這裏麵所展現的驚人思維能力和數學直覺，有些超乎望月新一的想象。
一般情況下，像佩雷爾曼和望月新一這樣的頂尖數學家之間，單從思維能力而言，其實差距並不大。
真正體現數學家之間差距的是看對方是否具有創造性思維，能不能在別人想不到的領域開辟全新的戰場。
而這一點，就需要長時間的積累以及偶然間的靈光一閃了。
望月新一原以為，自己和龐學林之間就算存在差距，但是至少在邏輯思維能力上，不存在質的區別。
但今天，龐學林的表現卻完全超出了他的想象。
這到底是哪來的怪物？
佩雷爾曼也意識到了這一點，不過此時的他倒沒想那麽多。
他從龐學林手中拿過論文的手稿，又從頭到尾推演了一遍。
最終的結果證明，龐學林是正確的。
佩雷爾曼臉上難掩失落之色，畢竟費了這麽大心機，最終卻因為一個小漏洞，而前功盡棄，實在是讓人有些難以接受。
不過他還是很快就調整好了心態。
在數學界，一項研究成果出來之後，被挑漏洞是很正常的事。
就好比當年的安德魯·懷爾斯，當年證明費馬大定理的時候，也曾被學術界挑出過漏洞。
隻不過後來他又花了一年時間將這個漏洞補齊，才算證明了費馬大定理。
望月新一更是此中好手。
當初為了證明abc猜想，自己發明了一套宇宙泰西米勒理論，結果學術界誰也看不懂，扯皮了十多年。
如果不是後來龐學林橫空出世，證明這一猜想，說不定，望月新一到現在還在跟數學界的人扯皮。
“龐，如果沒有其他事的話我先迴去了，我得好好想想，這個漏洞還有沒有補救的辦法。”
三人又聊了會兒天，佩雷爾曼便主動告辭離去。
看著佩雷爾曼的背影消失在門後，望月新一好奇道：“龐，你覺得佩雷爾曼能證明霍奇猜想嗎？”
龐學林搖了搖頭，說道：“不知道，看佩雷爾曼自己能不能補齊那個漏洞了，至少在整體的思路方向上，我覺得沒什麽問題的。對了，這段時間你的研究怎麽樣了？”
自從abc猜想被證明之後，望月新一就將研究方向轉向了連續統勢領域。
所謂的連續統勢，表述起來很簡單，指的是實數集合中到底含有多少個實數?或者說，實數集合的勢到底是多大?
連續統勢確定問題是集合論中最古老最基本最自然的一個問題。
對於(無窮)集合來講，兩個集合等勢的充分必要條件是它們之間存在一個一一對應或者雙射。
眾所周知，自然數可以被用來作為有限集合所含元素個數的多少的一種度量：兩個有限集合等勢的充分必要條件是它們含有相同個數的元素。
因此，每一個有限集合的勢都唯一地由一個自然數來確定。
類似的，無限集合的勢也都唯一地由一個基數?α來確定。
最小的無窮基數是?0，它代表著全體自然數所組成的集合的勢。
?0之後的第一個基數是?1，再其後的第一個基數是?2，然後是?3，等等……
一般來說，緊接著基數?α之後的基數是?α+1：兩個基數?α和?β的大小之比較由它們的下標(序數α和β)的長短來唯一確定。
每一個自然數n都是一個比?0小的基數.對於無限基數來說，?0＜?1＜?2＜?3＜……
cantor於1873年12月證明了由全體實數所組成的集合(即連續統)的勢至少是?1。
現在問題出來了：到底哪一個基數?α是連續統的勢呢？
是?1?還是?2，?3，還是別的一個什麽?α？
cantor當年曾經猜想：連續統的勢是第一個不可數的基數?1。
這就是cantor連續統猜想，也是希爾伯特(hilbert)1900年提出的23個問題中的第一問題。
望月新一搖了搖頭，苦笑道：“我現在隻是有個頭緒，想要真正搞明白這個問題，估計還要很長時間呢。”
接著，望月新一又和龐學林聊了一下近期龐氏幾何研討班的問題，這才告辭離去。
正月十六。
元宵節剛過。
沉寂了一個月的江大校園，再次變得喧鬧起來。
一大早，龐學林剛抵達辦公室，外麵突然傳來一陣吵鬧聲。
緊接著，龐學林的辦公室大門，砰的一下被人推開。
許久未見的佩雷爾曼急匆匆的闖了進來。
左亦秋也緊跟著從後麵追了上來，說道：“龐教授不好意思，我沒攔住這位先生……”
龐學林微微一愣，笑了起來，說道：“沒事，小左，你先出去吧。”
接著，他將目光轉向佩爾曼道：“格裏戈裏，找我有什麽事嗎？”
佩雷爾曼看起來蓬頭垢麵，滿臉大胡子，蜷曲的頭發披在腦後，看起來油膩膩的，也不知道多久沒洗了。
他穿了一身棕色的夾克，袖口漆黑一片。
龐學林有將近四五個月沒有見過佩雷爾曼了，兩人上次見麵還是在江城大學龐學林數學科學研究中心落成掛牌儀式上的時候，佩雷爾曼過來露了個臉，然後就匆匆的離開了。
最近這一年多的時間，他把全部精力都投入到了霍奇猜想研究中去。
“龐教授，我證明霍奇猜想了！”
佩雷爾曼揮舞著手中的稿紙，神情振奮道。
“證明霍奇猜想了？”
龐學林微微一愣，霍奇猜想的難度他很清楚。
在星際穿越世界，他被樹老困在五號行星的時候，花了大半年時間攻關過這個猜想，一直沒成功。
他都沒想到，在現實世界，佩雷爾曼竟然把這個猜想給解決了。
“我看看。”
佩雷爾曼將手中的稿紙遞給了龐學林。
龐學林稿紙，開始一頁頁的翻閱起來。
佩雷爾曼也不著急，大馬金刀的在一旁的小沙發上坐下。
沒過一會兒，左亦秋端著一杯熱氣騰騰的咖啡進來，放在了佩雷爾曼生身前。
隨後，左亦秋悄悄將辦公室門關上。
看了將近一個小時，龐學林放下手稿，沉吟片刻，說道：“你這個證明方法有點意思，你的手稿給新一看過了嗎？”
剛剛龐學林把這份手稿瀏覽了一遍，大概厘清楚了佩雷爾曼的證明思路。，
不過具體證明過程，還需要仔細研究。
“還沒。”
佩雷爾曼搖了搖頭道。
龐學林說道：“我把望月新一教授也找來，讓他跟著看看吧。”
說著，龐學林拿起桌上的電話，給望月新一撥了過去。
半小時後，望月新一急匆匆的來到了龐學林的辦公室。
看到佩雷爾曼也在，望月新一臉上流露出驚訝之色：“說道，格裏戈裏，你怎麽會在這裏？”
緊接著，望月新一似乎想到了什麽，眼中流露出不可思議的神色，說道：“你該不會把霍奇猜想給解決了吧？”
佩雷爾曼這段時間一直在閉關，他是知道的。
今天他突然過來找龐學林，在加上龐學林打電話給自己，望月新一一下子猜到了佩雷爾曼的來意。
佩雷爾曼點了點頭，沒有說話。
龐學林笑了起來，說道：“新一，這是佩爾曼關於霍奇猜想的證明手稿，你也看一看，是不是有什麽問題？”
說著，龐學林將剛剛複印好，還帶著一絲溫熱的手稿複印件遞給了望月新一。
剛剛在望月新一過來的過程中，龐學林將手稿複印了一邊。
“好！”
望月新一也不客氣，接過手稿，找了把椅子在龐學林的對麵坐下。
龐學林同樣拿出一份稿紙，在上麵寫寫畫畫。
辦公室裏安靜了下來。
龐學林和望月新一都在仔細研究者佩雷爾曼的手稿。
佩雷爾曼自己，則優哉遊哉地喝著咖啡。
他是一個很耐得住性子的人，就算沒人跟他說話，他一個人坐著，也能待上一整天。
時間一分一秒過去，臨近中午的時候，龐學林找來左亦秋，讓她幫三人訂三份外賣。
吃完飯，龐學林和望月新一繼續研究佩雷爾曼的手稿。
龐學林按照佩雷爾曼的思路，試圖將整個霍奇猜想的證明過程從頭到尾推演一遍。
不知不覺間，到了下午三點多。
望月新一終於抬起頭說道：“我感覺整體思路沒什麽問題，但細節推論，還需要進一步研究。”
佩雷爾曼不由得鬆了一口氣，臉上露出笑容，將目光轉向龐學林道：“龐教授，你怎麽看？”
龐學林沒有說話，沉吟片刻，出聲道：“格裏戈裏，你過來一下。在手稿的第五頁，引理3.3.4中：??是定義在黎曼流形??4中的區域Ω上無臨界點的光滑函數。在區域Ω中??的最速下降線是水平集的正交曲線。換句話說，無臨界點函數??的最速下降線就是在區域內切向量場???的積分曲線。這裏你準備如何求解水平集和最速下降線曲率？”
佩雷爾曼沉思片刻，拿起筆，在稿紙上寫道：
【設{???1，???2}是單位正交切標架，若???1是曲線的單位切向量，那麽光滑曲線的測地曲率為??=，其中??是曲線的弧長參數.由{???1，???2}是單位正交切標架，測地曲率同樣可以表示為??=?<???1，d???2d??>=?div(???2)，這等價於說，光滑曲線的測地曲率是曲線的單位法向量的微分。】
龐學林淡淡一笑，對佩雷爾曼的解釋不可置否，又翻到了第十頁，指著上麵的證明道：“那這裏，在空間形式????中，??是定義在嚴格凸環??2???1上的調和函數，??連續到??2???1。若??滿足??|????1=1，??(??)>0，???∈??2???1，並且??的水平集嚴格凸。你在最後部分是如何給出極值原理的？”
佩雷爾曼繼續解釋：【Ω是????中有界連通區域，??∈??2(Ω)????(Ω)，在Ω上考慮算子??????=??????(??)????????+????(??)??????+??(??)??……】
“那這裏呢？??是具有常截麵曲率的黎曼流形????上的光滑函數，????????和????分別是????上的riemannian曲率張量和ri曲率，那麽??????=????????+??????????????和????????=???????????2????????????????+????????????+r??????????……這個如何證明？”
【取1≤??，??，??，??，??≤??，1≤??≤??+1。取????中的正交標架場{???1，???2，……，?????，?????+1}，其中?????+1為外法向，則{???1，???2，……，???i}為切標架場，且???=?????+1，運動方程為……】
……
在一旁觀看的望月新一有些奇怪，龐學林怎麽老是在黎曼流形問題上打轉，而且問的都是一些比較淺顯的問題，有些引理或者定義，推導出來是非常顯而易見的。
倒是佩雷爾曼並沒有表現出多少不耐煩的神情，基本上龐學林問什麽，他就解釋什麽。
時間一分一秒過去，不知不覺，又過了一個多小時。
龐學林終於圖窮匕見：“你這裏由一個緊致無邊的n維流形m的同調群hn（m，z）=0，推出m是不可定向的，然後我們由定理4.6.7可知，所有偶數維的射影空間都是不可定向的，它們的定向二重覆蓋空間是同維數的球麵，那麽我想問一下，定向二重覆蓋為環麵t^2的克萊因瓶，它的空間曲率是黎曼流形上的光滑函數嗎？”
龐學林這話一出口，不僅佩雷爾曼呆滯了，就連望月新一也呆住了。
這是一個極為細微的邏輯漏洞，從初始設定一直到四維克萊因瓶的定向問題，相當於霍奇猜想證明全過程的基礎。
假如這一段出現問題了，那麽基本上意味著整個證明過程有著重大缺陷。
但望月新一震驚的並非是這一點。
而是龐學林竟然能夠在這麽短的時間內，就察覺到了如此細微的邏輯漏洞。
要知道佩雷爾曼的手稿一共三十多頁，他還省略了很多環節，如果把這部分手稿轉換成論文，至少還要再補充一半以上的內容。
之前望月新一花了將近五小時的時間，才算將這篇論文細細讀完。
要說理解的話，望月新一隻能說看明白了佩雷爾曼的整體證明思路，對裏麵的一些細節，他還要花幾天時間研究。
而龐學林在讀完這篇論文的同時，竟然在如此短的時間內，完全理解了佩雷爾曼的證明思路，甚至還發現了其中存在的非常細微的漏洞。
這裏麵所展現的驚人思維能力和數學直覺，有些超乎望月新一的想象。
一般情況下，像佩雷爾曼和望月新一這樣的頂尖數學家之間，單從思維能力而言，其實差距並不大。
真正體現數學家之間差距的是看對方是否具有創造性思維，能不能在別人想不到的領域開辟全新的戰場。
而這一點，就需要長時間的積累以及偶然間的靈光一閃了。
望月新一原以為，自己和龐學林之間就算存在差距，但是至少在邏輯思維能力上，不存在質的區別。
但今天，龐學林的表現卻完全超出了他的想象。
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佩雷爾曼也意識到了這一點，不過此時的他倒沒想那麽多。
他從龐學林手中拿過論文的手稿，又從頭到尾推演了一遍。
最終的結果證明，龐學林是正確的。
佩雷爾曼臉上難掩失落之色，畢竟費了這麽大心機，最終卻因為一個小漏洞，而前功盡棄，實在是讓人有些難以接受。
不過他還是很快就調整好了心態。
在數學界，一項研究成果出來之後，被挑漏洞是很正常的事。
就好比當年的安德魯·懷爾斯，當年證明費馬大定理的時候，也曾被學術界挑出過漏洞。
隻不過後來他又花了一年時間將這個漏洞補齊，才算證明了費馬大定理。
望月新一更是此中好手。
當初為了證明abc猜想，自己發明了一套宇宙泰西米勒理論，結果學術界誰也看不懂，扯皮了十多年。
如果不是後來龐學林橫空出世，證明這一猜想，說不定，望月新一到現在還在跟數學界的人扯皮。
“龐，如果沒有其他事的話我先迴去了，我得好好想想，這個漏洞還有沒有補救的辦法。”
三人又聊了會兒天，佩雷爾曼便主動告辭離去。
看著佩雷爾曼的背影消失在門後，望月新一好奇道：“龐，你覺得佩雷爾曼能證明霍奇猜想嗎？”
龐學林搖了搖頭，說道：“不知道，看佩雷爾曼自己能不能補齊那個漏洞了，至少在整體的思路方向上，我覺得沒什麽問題的。對了，這段時間你的研究怎麽樣了？”
自從abc猜想被證明之後，望月新一就將研究方向轉向了連續統勢領域。
所謂的連續統勢，表述起來很簡單，指的是實數集合中到底含有多少個實數?或者說，實數集合的勢到底是多大?
連續統勢確定問題是集合論中最古老最基本最自然的一個問題。
對於(無窮)集合來講，兩個集合等勢的充分必要條件是它們之間存在一個一一對應或者雙射。
眾所周知，自然數可以被用來作為有限集合所含元素個數的多少的一種度量：兩個有限集合等勢的充分必要條件是它們含有相同個數的元素。
因此，每一個有限集合的勢都唯一地由一個自然數來確定。
類似的，無限集合的勢也都唯一地由一個基數?α來確定。
最小的無窮基數是?0，它代表著全體自然數所組成的集合的勢。
?0之後的第一個基數是?1，再其後的第一個基數是?2，然後是?3，等等……
一般來說，緊接著基數?α之後的基數是?α+1：兩個基數?α和?β的大小之比較由它們的下標(序數α和β)的長短來唯一確定。
每一個自然數n都是一個比?0小的基數.對於無限基數來說，?0＜?1＜?2＜?3＜……
cantor於1873年12月證明了由全體實數所組成的集合(即連續統)的勢至少是?1。
現在問題出來了：到底哪一個基數?α是連續統的勢呢？
是?1?還是?2，?3，還是別的一個什麽?α？
cantor當年曾經猜想：連續統的勢是第一個不可數的基數?1。
這就是cantor連續統猜想，也是希爾伯特(hilbert)1900年提出的23個問題中的第一問題。
望月新一搖了搖頭，苦笑道：“我現在隻是有個頭緒，想要真正搞明白這個問題，估計還要很長時間呢。”
接著，望月新一又和龐學林聊了一下近期龐氏幾何研討班的問題，這才告辭離去。